11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

Логарифм степени ...

Комментарии преподавателя

Пе­ре­ход к но­во­му ос­но­ва­нию ло­га­риф­ма

 1. Основные теоретические факты

На­пом­ним цен­траль­ное опре­де­ле­ние – опре­де­ле­ние ло­га­риф­ма. Оно свя­за­но с ре­ше­ни­ем по­ка­за­тель­но­го урав­не­ния . По­ка­за­тель­ная функ­ция  мо­но­тон­на, каж­дое по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние b она до­сти­га­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та, то есть при кон­крет­ном зна­че­нии b урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. Этот ко­рень на­зы­ва­ют ло­га­риф­мом b по ос­но­ва­нию а: 

 2.  Формула перехода к новому основанию

Опре­де­ле­ние:

Ло­га­риф­мом числа b по ос­но­ва­нию а на­зы­ва­ет­ся такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рую нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние а, чтобы по­лу­чить число b.

На­пом­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство.

Вы­ра­же­ние  (вы­ра­же­ние 1) яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния  (вы­ра­же­ние 2). Под­ста­вим зна­че­ние х из вы­ра­же­ния 1 вме­сто х в вы­ра­же­ние 2 и по­лу­чим ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

При­ме­ры:

 при любом а;

 при любом а;

По­вто­рим из­вест­ные нам свой­ства ло­га­риф­мов. Здесь :

1. Ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

 (про­из­ве­де­ние  может быть по­ло­жи­тель­ным, если  оба – от­ри­ца­тель­ные числа, но, ис­хо­дя из пра­вой части,  стро­го по­ло­жи­тель­ны)

2. Ло­га­рифм част­но­го:

3. Ло­га­рифм сте­пе­ни:

Ино­гда в за­да­чах не ука­за­но, что  и  – по­ло­жи­тель­ные числа, тогда необ­хо­ди­мо при рас­кры­тии ло­га­риф­ма ста­вить мо­дуль:

 ( – это любые числа кроме нуля, но их про­из­ве­де­ние долж­но быть по­ло­жи­тель­ным)

Пе­рей­дем к ос­нов­ной фор­му­ле дан­но­го урока.

Дано:

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

При­ме­ним рав­но­силь­ные пре­об­ра­зо­ва­ния. По­сколь­ку в зна­ме­на­те­ле стоит ло­га­рифм, а он не может быть равен нулю, т. к. , имеем право до­мно­жить обе части на дан­ный ло­га­рифм:

Со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма, вне­сем со­мно­жи­тель под знак ло­га­риф­ма как по­ка­за­тель сте­пе­ни:

При­ме­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

 3.  Решение вычислительной задачи

При­мер 1 – вы­чис­лить:

Чтобы вос­поль­зо­вать­ся свой­ством ло­га­риф­ма, нужно при­ве­сти за­дан­ные ло­га­риф­мы к од­но­му ос­но­ва­нию. При­ве­дем вто­рой ло­га­рифм к ос­но­ва­нию 2:

По­лу­чим вы­ра­же­ние:

Имеем сумму ло­га­риф­мов с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем. При­ме­ним свой­ство:

 4.  Решение уравнения

При­мер 2 – ре­шить урав­не­ние:

Оче­вид­но, что необ­хо­ди­мо вы­брать новое ос­но­ва­ние и при­ве­сти к нему все ло­га­риф­мы, чтобы вос­поль­зо­вать­ся свой­ства­ми и ре­шить урав­не­ние. Вы­бе­рем ос­но­ва­ние 2:

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чи­ли урав­не­ние:

При­ве­дем по­доб­ные:

Раз­де­лим обе части на :

По опре­де­ле­нию ло­га­рим­фа:

Итак, мы вы­ве­ли и рас­смот­ре­ли новую важ­ную фор­му­лу – пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию ло­га­риф­ма. 

Пе­ре­ход к но­во­му ос­но­ва­нию ло­га­риф­ма, ре­ше­ние задач

 Часть вторая. 1. Основные теоретические факты

На­пом­ним цен­траль­ное опре­де­ле­ние – опре­де­ле­ние ло­га­риф­ма. Оно свя­за­но с ре­ше­ни­ем по­ка­за­тель­но­го урав­не­ния . По­ка­за­тель­ная функ­ция  при­ни­ма­ет все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. Она мо­но­тон­на, каж­дое по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние b она до­сти­га­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та, то есть при кон­крет­ном зна­че­нии b урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. Этот ко­рень на­зы­ва­ют ло­га­риф­мом b по ос­но­ва­нию а: 

Опре­де­ле­ние:

Ло­га­риф­мом числа b по ос­но­ва­нию а на­зы­ва­ет­ся такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рую нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние а, чтобы по­лу­чить число b.

На­пом­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство.

Вы­ра­же­ние  (вы­ра­же­ние 1) яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния  (вы­ра­же­ние 2). Под­ста­вим зна­че­ние х из вы­ра­же­ния 1 вме­сто х в вы­ра­же­ние 2 и по­лу­чим ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

По­вто­рим из­вест­ные нам свой­ства ло­га­риф­мов. Здесь :

1. Ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

 (про­из­ве­де­ние  может быть по­ло­жи­тель­ным, если  – оба от­ри­ца­тель­ные числа, но, ис­хо­дя из пра­вой части,  стро­го по­ло­жи­тель­ны)

2. Ло­га­рифм част­но­го:

3. Ло­га­рифм сте­пе­ни:

На­пом­ним важ­ную фор­му­лу – пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию ло­га­риф­ма:

Здесь 

На­при­мер, вы­чис­лить:

Неслож­но за­ме­тить, что ло­га­риф­мы в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле имеют одно и то же ос­но­ва­ние, по фор­му­ле пе­ре­хо­да по­лу­ча­ем:

 

Пе­ре­хо­дим к след­стви­ям из фор­му­лы пе­ре­хо­да.

 2.  Первое следствие из формулы перехода

След­ствие 1:

Здесь 

Рас­пи­шем по фор­му­ле пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ино­гда дан­ное свой­ство ис­поль­зу­ют в сле­ду­ю­щем виде:

 3.  Второе следствие из формулы перехода

След­ствие 2:

Здесь 

При­ме­ним фор­му­лу пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию, а имен­но, от ос­но­ва­ния к ос­но­ва­нию а:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать

 4.   Решение типовых задач

Рас­смот­рим важ­ное уточ­не­ние для чет­ных сте­пе­ней:

Здесь 

По­яс­не­ние:

По­сколь­ку  – чет­ное число, до­пус­ка­ют­ся как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния b. Ана­ло­гич­но до­пус­ка­ют­ся как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния а, за ис­клю­че­ни­ем . Если мы не по­ста­вим в пра­вой части мо­ду­ли, то а и b будут толь­ко по­ло­жи­тель­ны­ми чис­ла­ми, об­ласть опре­де­ле­ния сузит­ся.

До­ка­за­тель­ство:

Пе­ре­хо­дим к но­во­му ос­но­ва­нию:

Важно, что с по­мо­щью мо­ду­ля мы со­хра­ни­ли неиз­мен­ной об­ласть опре­де­ле­ния, не сузи­ли ее. Так мы можем предо­хра­нить себя от мно­го­чис­лен­ных ти­по­вых оши­бок.

Фор­му­ла пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию и след­ствия из нее ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся при ре­ше­нии раз­лич­ных ти­по­вых задач.

При­мер 1 – вы­чис­лить:

Пре­об­ра­зу­ем по­ка­за­те­ли сте­пе­ни со­глас­но фор­му­лам пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию:

По­лу­ча­ем:

Пре­об­ра­зу­ем ос­но­ва­ния сте­пе­ней:

При­ме­ним свой­ство сте­пе­ни:

В по­ка­за­те­лях сте­пе­ней вне­сем мно­жи­те­ли под знак ло­га­риф­ма со­глас­но свой­ству:

При­ме­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

При­мер 2 – ре­шить урав­не­ние:

При­ве­дем все три ло­га­риф­ма к од­но­му ос­но­ва­нию, на­при­мер к ос­но­ва­нию 4:

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу 

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чи­ли урав­не­ние:

Со­кра­тим трой­ку:

Вы­ра­зим х, ис­хо­дя из опре­де­ле­ния ло­га­риф­ма:

со­глас­но ос­нов­но­му ло­га­риф­ми­че­ско­му тож­де­ству:

Итак, мы рас­смот­ре­ли неко­то­рые ти­по­вые за­да­чи на фор­му­лу пе­ре­хо­да к но­во­му ос­но­ва­нию ло­га­риф­ма и след­ствия из нее. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/perehod-k-novomu-osnovaniyu-logarifma

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/perehod-k-novomu-osnovaniyu-logarifma-reshenie-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=ap9hdJQlF88

http://www.youtube.com/watch?v=bedEE55Bd8A

http://mathematics-tests.com/11-klass-uroki-presentatsii/algebra-11-klass-urok-perehod-k-novomu-osnovaniu-logarifma

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://www.mathematics-repetition.com/11-klass-algebra/11-4-9-1-logarifm-obshtaya-formula-perehoda-k-novomu-osnovaniyu.html

http://dp-adilet.kz/perexod-k-novomu-osnovaniyu-logarifma/

http://www.berdov.com/docs/logarithm/what_test_hard/

http://www.berdov.com/docs/logarithm/basic_properties/

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

 

Файлы