11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.
11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.
Комментарии преподавателя
1. Основание для введения нового понятия, логарифм в частном случае
Логарифм для нас – новое понятие. Полезно вспомнить ситуации, когда мы вводили новые понятия, то есть когда без них уже невозможно обойтись. Для этого решим несколько примеров.
Пример 1:
Мы знаем, как решаются подобные уравнения. Решим его двумя способами.
Способ 1 (аналитический):
В данном способе мы уравняли основания степеней и приравняли полученные показатели.
Способ 2 (графический):
Разбиваем заданное уравнение на две функции и выполняем построение в одной системе координат.
Рис. 1. График к примеру 1
График первой функции – экспонента, второй – прямая. 
, следовательно, имеем единственную точку пересечения графиков – единственный корень уравнения, который легко угадывается и проверяется подстановкой в заданное уравнение.
Ответ: 
Пример 2:
Аналогично предыдущему примеру, решим двумя способами.
Способ 1 (аналитический):
Способ 2 (графический):
Рис. 2. График к примеру 2
Ответ: 
До сих пор для решения уравнений нам не требовалось никаких новых терминов.
Пример 3:
Пытаемся решить первым способом:
Не можем найти подходящую степень числа 2, не можем уравнять основания.
Возможно, уравнение не имеет решения. Построим график:
Рис. 3. График к примеру 3
Очевидно, что решение есть, т. к. графики пересекаются, но угадать или подобрать корень невозможно.
Экспонента 
рассекает прямую 
в единственной точке, этой точке соответствует конкретное значение аргумента, которое назвали логарифмом числа 11 по основанию 2:
Итак, логарифм – это такой показатель степени, в который нужно возвести ее основание, чтобы получить заданное число, т. е. логарифм одиннадцати по основанию два – это такой показатель степени, в который нужно возвести основание два, чтобы получить одиннадцать.
Теперь рассмотрим общий случай и дадим строгое определение.
Рассмотрим уравнение:
При выполнении поставленных условий уравнение имеет единственное решение:
2. Строгое определение логарифма, основное логарифмическое тождество, элементарные примеры
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Исходя из определения, имеем основное логарифмическое тождество:
Например:
3. Основное правило для решения простейших задач, примеры
Отметим важное правило:
Чтобы получить число b, стоящее под знаком логарифма, необходимо возвести основание а в степень х:
4. Решение типовых задач с логарифмами
Пример 4 – вычислить:
а) 
б) 
Решение:
Обозначим искомые логарифмы через х и у и используем правило:
а) 
Получили показательное уравнение, решать такие уравнения мы уже умеем. Уравняем основания и получим ответ:
б) 
Получили показательное уравнение, решать такие уравнения мы уже умеем. Уравняем основания и получим ответ:
Пример 5 – проверить равенства с логарифмами:
а) 
Используем правило:
Равенство верно
б) 
Используем правило:
Равенство верно
Рассмотрим простейшие уравнения.
Пример 6 – решить уравнение:
а) 
Используем правило:
Oбратим внимание, что под логарифмом должно стоять строго положительное число:
Найденное решение удовлетворяет ОДЗ, т. к. 
б) 
Используем правило:
, ОДЗ соблюдено
в) 
Используем правило:
Подлогарифмическое выражение очевидно положительно
Основание логарифма должно быть больше нуля и не равным единице:
Найденный корень удовлетворяет условию
г) 
Используем правило:
Подлогарифмическое выражение очевидно положительно
Найденный корень удовлетворяет условию
Большую роль в вычислительных задачах с логарифмами имеет основное логарифмическое тождество.
Пример 7 – вычислить:
а) 
б) 
воспользуемся свойством степени: если в показателе степени стоит сумма, степень можно представить как произведение степеней с одинаковым основанием:
Итак, на данном уроке мы познакомились с понятием логарифма, рассмотрели его основные свойства и решили простейшие типовые задачи.
Часть вторая. 1. Определение и свойства показательной функции, определение логарифма
Напомним, откуда появилось понятие логарифма. Для этого вспомним понятие показательной функции и ее важнейшие свойства.
Показательная функция – это функция вида 
, где 
и 
:
Рис. 1. График показательной функции
На графике красным показана показательная функция с основанием, меньшим единицы (
), а черным – с основанием, большим единицы (
).
Основные свойства показательной функции:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при
Как и с любой функцией, с показательной связаны две основные задачи:
Прямая – по заданному значению аргумента определить значение функции: 
Обратная – по заданному значению функции определить значение аргумента: 
Существует ли х? Да, существует. При выполнении всех заданных условий решение уравнения существует, и оно единственное. Проиллюстрируем:
Рис. 2. Графическое решение уравнения 
для (левее) и (правее)
Каждое положительное значение b функция 
достигает при единственном значении аргумента. Данное значение аргумента носит название логарифма:
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
2. Основное логарифмическое тождество, простейшие примеры
3. Решение уравнений с логарифмами
Примеры:
Пример 1 – решить уравнение: (Рис. 3).
а) 
Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:
По определению логарифма:
б) 
(Рис. 4).
Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:
По определению логарифма:
в) 
(Рис. 5).
По определению логарифма:
Cогласно основному логарифмическому тождеству (
)
То есть, мы, как и раньше, уравняли основания степеней и получили ответ.
г) 
(Рис. 6).
По определению логарифма:
Cогласно основному логарифмическому тождеству ()
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1.а
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 1.б
Рис. 5. Иллюстрация к примеру 1.в
Рис. 6. Иллюстрация к примеру 1.г
Пример 2:
Доказать, что число 
– иррациональное.
Напомним, что рациональными числами называются дроби, где числитель – любое целое, а знаменатель – любое натуральное число:
Доказательство – от противного:
Пусть число – рациональное. Мы знаем, что данное число положительно. Получаем:
Тогда по основному правилу имеем:
Возведем обе части полученного уравнения в степень n:
Получили противоречие: 
имеет простые сомножители числа 3, а 
– числа 2, не кратно двум:
Полученное противоречие доказывает, что число – иррациональное.
Пример 3 – решить неравенство: Рис. 7.
Способ 1 – решить уравнение и использовать свойства показательной функции:
По определению логарифма:
Рис. 10.7. Иллюстрация к примеру 3
Нас интересуют те значения аргумента, при которых показательная функция больше линейной. Очевидно, что это значения 
Ответ: 
Способ 2 – уравнять основания:
Применим основное логарифмическое тождество:
Основание степени больше единицы, получаем ответ:
Получили такой же ответ, как и при решении первым способом.
4. Решение других типовых задач
Пример 4 – вычислить:
а) 
Воспользуемся свойством степени – если в показателе стоит произведение, имеем право представить степень как возведенную в степень:
Применим основное логарифмическое тождество:
б) 
Согласно определению, степень с отрицательным показателем можно представить в виде дроби:
Воспользуемся свойством степени – если в показателе стоит произведение, имеем право представить степень как возведенную в степень:
Применим основное логарифмическое тождество:
Итак, на данном уроке мы вспомнили определение и свойства показательной функции, определение и основные свойства логарифма. Также мы научились решать основные типовые задачи с логарифмами.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/ponyatie-logarifma
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/ponyatie-logarifma-prosteyshie-zadachi
http://www.youtube.com/watch?v=KR6GljPluE4
http://www.youtube.com/watch?v=-T2kfR6qFYE
http://uztest.ru/abstracts/?id=25&t=2
http://mathematics-tests.com/11-klass-uroki-presentatsii/algebra-11-klass-urok-logarifmy
http://www.funlib.ru/cimg/2014/101913/3520817