11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

Логарифм и его свойства.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Логарифм и его свойства.

Комментарии преподавателя

Свойства логарифмов. Решение более трудных задач

1. Введение

Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Показательная функция монотонна, каждое положительное значение b она достигает при единственном значении аргумента. Это значение называют логарифмом b по основанию а:

2. Основные факты о логарифмах

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Напомним основное логарифмическое тождество.

Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

3. Решение примера

Примеры:

а) ;

б) ;

в) при любом а;

г) при любом а;

4. Новые свойства логарифма

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь :

1. Логарифм произведения:

2. Логарифм частного:

3. Логарифм степени:

Свойства логарифмов используются при решении многочисленных типовых задач.

Пример 1 – вычислить:

Преобразуем заданное выражение используя свойства логарифмов:

Известные нам свойства логарифмов позволяют получать новые свойства, новые формулы, новые тождества.

Доказать:

Доказательство:

Прологарифмируем заданное равенство по основанию с:

Согласно известному свойству вынесем показатели степени как множители:

Получили верное равенство, тождество доказано.

Из полученного выражения можно обратным путем получить заданное.

Доказать:

Доказательство:

Рассмотрим левую часть. Поменяем в ней сомножители местами, от этого суть выражения не изменится:

Теперь первый сомножитель внесем под второй логарифм как показатель степени:

Применим основное логарифмическое тождество:

Получили , что и требовалось доказать.

Пример 2 – доказать тождество:

Согласно только что выведенной формуле имеем:

Значение данного выражения мы уже приводили в начале урока:

Доказать:

Доказательство:

Считаем, что все переменные принимают исключительно допустимые значения.

Прологарифмируем заданное равенство по основанию а:

Вынесем показатели степени как сомножители согласно свойству логарифма:

Перенесем все элементвы в левую часть:

Вынесем множитель за скобки:

Согласно только что доказанному свойству имеем:

Получили верное равенство.

Пример 3 – решить уравнение:

Решение данного уравнения позволит нам избежать в дальнейшем типовых ошибок, поэтому рассмотрим неверное и верное решение.

Неверное решение:

Согласно свойству логарифма, показатель степени выносим как сомножитель:

Сократим:

По определению логарифма:

Несложно догадаться, что здесь потерян один корень, т. к. если это решение данного уравнения, то и также является решением, потому что х стоит под квадратом.