11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.
11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.
Комментарии преподавателя
1. Некоторые теоретические сведения
Напомним определение логарифма. Для этого рассмотрим показательную функцию 
. В левой части стоит показательная функция, если выполняются следующие условия: 
. Свойства показательной функции нам известны: она монотонна и принимает все положительные значения. Это значит, что любое положительное значение b функция принимает при единственном значении аргумента, то есть, уравнение имеет единственный корень, который и называется логарифмом:
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Исходя из определения, имеем основное логарифмическое тождество:
То есть, любое положительное число b можно представить при помощи основного логарифмического тождества.
Рассмотрим конкретный пример: 
.
Рис. 1. График уравнения
По графику очевидно, что каждое свое положительное значение функция достигает при единственном значении аргумента.
Решением заданного уравнения будет такое значение аргумента:
.
Перейдем к доказательству теорем, являющихся непосредственной целью данного урока.
2. Логарифм произведения, формула, примеры
Теорема 1:
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
Здесь 
Доказательство:
Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:
Тогда:
Согласно свойству степени при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются. Получаем:
По определению логарифма имеем:
Что и требовалось доказать.
Выведенная формула применяется для выполнения различного рода вычислений.
Пример 1 – вычислить:
а) 
Несложно догадаться, что сумму логарифмов с одинаковым основанием можно представить как логарифм произведения:
б) 
Аналогично предыдущему примеру представляем сумму десятичных логарифмов как логарифм произведения:
Комментарий: в ходе решения была применена формула 
3. Логарифм произведения трех положительных чисел
Обобщим выведенную формулу для произведения трех положительных чисел.
Доказать:
Здесь 
Доказательство:
Применим дважды выведенную формулу, на первом шаге будем считать произведение bc за единое число:
Теперь раскроем первый логарифм по той же формуле:
Что и требовалось доказать.
Перейдем к следующей формуле.
Дано:
Доказать: 
Представим числа b и с с помощью основного логарифмического тождества:
Тогда:
Согласно свойству степени, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Получаем:
По определению логарифма имеем:
Что и требовалось доказать.
Пример 2 – вычислить:
а) 
4. Логарифм частного, формула, примеры
Согласно выведенной формуле, разность логарифмов с одинаковым основанием можем представить как логарифм частного:
б) 
Аналогично предыдущему примеру:
Итак, мы изучили некоторые важные свойства логарифма, вывели формулы для логарифма произведения и логарифма частного.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/svoystva-logarifmov-logarifm-proizvedeniya-i-chastnogo
http://www.youtube.com/watch?v=E6Fvr-ZqTPY
http://www.youtube.com/watch?v=4G5MwpCqpt8
http://www.youtube.com/watch?v=bedEE55Bd8A
http://www.cleverstudents.ru/logarithms/properties_of_logarithms.html
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_3_1.php
http://www.webmath.ru/primeri_reshenii/logarithm.php?part=1&example=1