11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

Логарифмы.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Логарифмы.

Комментарии преподавателя

Переход к новому основанию логарифма

1. Основные теоретические факты

Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Показательная функция монотонна, каждое положительное значение b она достигает при единственном значении аргумента, то есть при конкретном значении b уравнение имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом b по основанию а:

2. Формула перехода к новому основанию

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Напомним основное логарифмическое тождество.

Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Примеры:

при любом а;

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь :

1. Логарифм произведения:

(произведение может быть положительным, если оба – отрицательные числа, но, исходя из правой части, строго положительны)

2. Логарифм частного:

3. Логарифм степени:

Иногда в задачах не указано, что и – положительные числа, тогда необходимо при раскрытии логарифма ставить модуль:

( – это любые числа кроме нуля, но их произведение должно быть положительным)

Перейдем к основной формуле данного урока.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Применим равносильные преобразования. Поскольку в знаменателе стоит логарифм, а он не может быть равен нулю, т. к. , имеем право домножить обе части на данный логарифм:

Согласно свойству логарифма, внесем сомножитель под знак логарифма как показатель степени:

Применим основное логарифмическое тождество:

Что и требовалось доказать.

3. Решение вычислительной задачи

Пример 1 – вычислить:

Чтобы воспользоваться свойством логарифма, нужно привести заданные логарифмы к одному основанию. Приведем второй логарифм к основанию 2:

Получим выражение:

Имеем сумму логарифмов с одинаковым основанием. Применим свойство:

4. Решение уравнения

Пример 2 – решить уравнение:

Очевидно, что необходимо выбрать новое основание и привести к нему все логарифмы, чтобы воспользоваться свойствами и решить уравнение. Выберем основание 2:

В результате преобразований получили уравнение:

Приведем подобные:

Разделим обе части на :

По определению логаримфа:

Итак, мы вывели и рассмотрели новую важную формулу – перехода к новому основанию логарифма.

Переход к новому основанию логарифма, решение задач

Часть вторая. 1. Основные теоретические факты

Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Показательная функция принимает все положительные значения. Она монотонна, каждое положительное значение b она достигает при единственном значении аргумента, то есть при конкретном значении b уравнение имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом b по основанию а:

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Напомним основное логарифмическое тождество.

Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь :

1. Логарифм произведения:

(произведение может быть положительным, если – оба отрицательные числа, но, исходя из правой части, строго положительны)

2. Логарифм частного:

3. Логарифм степени:

Напомним важную формулу – перехода к новому основанию логарифма:

Здесь

Например, вычислить:

Несложно заметить, что логарифмы в числителе и знаменателе имеют одно и то же основание, по формуле перехода получаем:

Переходим к следствиям из формулы перехода.

2. Первое следствие из формулы перехода

Следствие 1:

Здесь

Распишем по формуле перехода к новому основанию:

Что и требовалось доказать.

Иногда данное свойство используют в следующем виде:

3. Второе следствие из формулы перехода

Следствие 2:

Здесь

Применим формулу перехода к новому основанию, а именно, от основания к основанию а:

Что и требовалось доказать

4. Решение типовых задач

Рассмотрим важное уточнение для четных степеней:

Здесь

Пояснение:

Поскольку – четное число, допускаются как положительные, так и отрицательные значения b. Аналогично допускаются как положительные, так и отрицательные значения а, за исключением . Если мы не поставим в правой части модули, то а и b будут только положительными числами, область определения сузится.

Доказательство:

Переходим к новому основанию:

Важно, что с помощью модуля мы сохранили неизменной область определения, не сузили ее. Так мы можем предохранить себя от многочисленных типовых ошибок.

Формула перехода к новому основанию и следствия из нее широко используются при решении различных типовых задач.

Пример 1 – вычислить: