11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

Комментарии преподавателя

 1. Некоторые напоминания

Рас­смот­рим по­ка­за­тель­ное урав­не­ние:

На­пом­ним, здесь 

Дан­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние (т. к. по­ка­за­тель­ная функ­ция мо­но­тон­на), оно на­зва­но ло­га­риф­мом:

на­пом­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

Про­ил­лю­стри­ру­ем на кон­крет­ном при­ме­ре.

. Рис. 15.1.

Дан­ная функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет, как и любая дру­гая по­ка­за­тель­ная функ­ция, ос­но­ва­ние ко­то­рой лежит в пре­де­лах от нуля до еди­ни­цы. Любое по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние b функ­ция до­сти­га­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та – . На­при­мер, зна­че­ние  до­сти­га­ет­ся при . Про­ве­рим:

Ра­вен­ство верно.

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

 2. Логарифм степени, формула

На­пом­ним уже из­вест­ные нам свой­ства ло­га­риф­ма:

Ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

Ло­га­рифм част­но­го:

Об­ра­тим вни­ма­ние: здесь 

 3. Решение некоторых типовых задач

При­мер 1 – вы­чис­лить:

а) 

б) 

Те­перь наша цель – на­учить­ся вы­чис­лять ло­га­рифм сте­пе­ни.

Дано: 

До­ка­зать: 

Дру­ги­ми сло­ва­ми, в дан­ном слу­чае по­ка­за­тель сте­пе­ни вы­но­сит­ся как со­мно­жи­тель, слож­ная опе­ра­ция воз­ве­де­ния в сте­пень за­ме­ня­ет­ся более про­стой опе­ра­ци­ей умно­же­ния.

До­ка­за­тель­ство:

Пред­ста­вим число b с по­мо­щью ос­нов­но­го ло­га­риф­ми­че­ско­го тож­де­ства:

Обе части воз­ве­дем в сте­пень r:

Со­глас­но свой­ствам сте­пе­ни по­лу­ча­ем:

По опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма имеем:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Рас­смот­рим за­да­чи на при­ме­не­ние вы­ве­ден­ной фор­му­лы.

При­мер 2 – про­ло­га­риф­ми­ро­вать по ос­но­ва­нию 3 вы­ра­же­ние:

Имеем ло­га­рифм про­из­ве­де­ния трех по­ло­жи­тель­ных вы­ра­же­ний, рас­пи­шем по из­вест­ной фор­му­ле:

Пре­об­ра­зу­ем под­ло­га­риф­ми­че­ские вы­ра­же­ния:

Со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма вы­не­сем по­ка­за­те­ли сте­пе­ней как со­мно­жи­те­ли:

При­мер 3 – ре­шить урав­не­ние:

Вне­сем мно­жи­те­ли под знак ло­га­риф­ма как по­ка­за­те­ли сте­пе­ни со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма:

За­ме­ним сумму ло­га­риф­мов ло­га­риф­мом про­из­ве­де­ния:

За­ме­ним раз­ность ло­га­риф­мов ло­га­риф­мом част­но­го:

Упро­стим пра­вую часть:

Из опре­де­ле­ния ло­га­риф­ма:

Ис­хо­дя из ос­нов­но­го ло­га­риф­ми­че­ско­го тож­де­ства, по­лу­ча­ем:

При­мер 4:

Дано:

а и b счи­тать из­вест­ны­ми чис­ла­ми.

Найти: 

Таким об­ра­зом, за­да­ча за­клю­ча­ет­ся в том, чтобы вы­ра­зить ис­ко­мый ло­га­рифм через а и b.

Со­глас­но ос­нов­ной тео­ре­ме ариф­ме­ти­ки, раз­ло­жим со­став­ное число 300 на про­стые мно­жи­те­ли:

Имеем:

Со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма, ло­га­рифм про­из­ве­де­ния пред­ста­вим как сумму ло­га­риф­мов:

Вы­не­сем по­ка­за­те­ли сте­пе­ни как со­мно­жи­те­ли:

Под­ста­вим за­дан­ные зна­че­ния:

Итак, мы рас­смот­ре­ли новое свой­ство ло­га­риф­ма, вы­ве­ли фор­му­лу для ло­га­риф­ма сте­пе­ни. Мы рас­смот­ре­ли при­ме­не­ние свойств ло­га­риф­ма в неко­то­рых ти­по­вых за­да­чах. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/svoystva-logarifmov-logarifm-stepeni

http://www.youtube.com/watch?v=4G5MwpCqpt8

http://www.youtube.com/watch?v=rGVmn0gghrs

http://www.youtube.com/watch?v=mUAuTQPIkYk

http://u.900igr.net/zip/50889604f88d66ce8cddc598c260da4d.zip

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://www.webmath.ru/primeri_reshenii/logarithm.php?part=1&example=5

http://raragebu.science/pic-shkola-rf.narod.ru/images/mathematics/mathematics3.jpg

 

Файлы