11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.
11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.
Комментарии преподавателя
1. Некоторые напоминания
Рассмотрим показательное уравнение:
Напомним, здесь 
Данное уравнение имеет единственное решение (т. к. показательная функция монотонна), оно названо логарифмом:
напомним основное логарифмическое тождество:
Проиллюстрируем на конкретном примере.
. Рис. 15.1.
Данная функция монотонно убывает, как и любая другая показательная функция, основание которой лежит в пределах от нуля до единицы. Любое положительное значение b функция достигает при единственном значении аргумента – 
. Например, значение 
достигается при 
. Проверим:
Равенство верно.
Рис. 1. График функции
2. Логарифм степени, формула
Напомним уже известные нам свойства логарифма:
Логарифм произведения:
Логарифм частного:
Обратим внимание: здесь 
3. Решение некоторых типовых задач
Пример 1 – вычислить:
а) 
б) 
Теперь наша цель – научиться вычислять логарифм степени.
Дано: 
Доказать: 
Другими словами, в данном случае показатель степени выносится как сомножитель, сложная операция возведения в степень заменяется более простой операцией умножения.
Доказательство:
Представим число b с помощью основного логарифмического тождества:
Обе части возведем в степень r:
Согласно свойствам степени получаем:
По определению логарифма имеем:
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим задачи на применение выведенной формулы.
Пример 2 – прологарифмировать по основанию 3 выражение:
Имеем логарифм произведения трех положительных выражений, распишем по известной формуле:
Преобразуем подлогарифмические выражения:
Согласно свойству логарифма вынесем показатели степеней как сомножители:
Пример 3 – решить уравнение:
Внесем множители под знак логарифма как показатели степени согласно свойству логарифма:
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
Заменим разность логарифмов логарифмом частного:
Упростим правую часть:
Из определения логарифма:
Исходя из основного логарифмического тождества, получаем:
Пример 4:
Дано:
, а и b считать известными числами.
Найти: 
Таким образом, задача заключается в том, чтобы выразить искомый логарифм через а и b.
Согласно основной теореме арифметики, разложим составное число 300 на простые множители:
Имеем:
Согласно свойству логарифма, логарифм произведения представим как сумму логарифмов:
Вынесем показатели степени как сомножители:
Подставим заданные значения:
Итак, мы рассмотрели новое свойство логарифма, вывели формулу для логарифма степени. Мы рассмотрели применение свойств логарифма в некоторых типовых задачах.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/svoystva-logarifmov-logarifm-stepeni
http://www.youtube.com/watch?v=4G5MwpCqpt8
http://www.youtube.com/watch?v=rGVmn0gghrs
http://www.youtube.com/watch?v=mUAuTQPIkYk
http://u.900igr.net/zip/50889604f88d66ce8cddc598c260da4d.zip
http://www.webmath.ru/primeri_reshenii/logarithm.php?part=1&example=5
http://raragebu.science/pic-shkola-rf.narod.ru/images/mathematics/mathematics3.jpg