11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

Логарифм по основанию 10 называют ...

Комментарии преподавателя

 1. Некоторые теоретические сведения

На­пом­ним опре­де­ле­ние ло­га­риф­ма. Для этого рас­смот­рим по­ка­за­тель­ную функ­цию . В левой части стоит по­ка­за­тель­ная функ­ция, если вы­пол­ня­ют­ся сле­ду­ю­щие усло­вия: . Свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции нам из­вест­ны: она мо­но­тон­на и при­ни­ма­ет все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. Это зна­чит, что любое по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние b функ­ция при­ни­ма­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та, то есть, урав­не­ние  имеет един­ствен­ный ко­рень, ко­то­рый и на­зы­ва­ет­ся ло­га­риф­мом:

Опре­де­ле­ние:

Ло­га­риф­мом числа b по ос­но­ва­нию а на­зы­ва­ет­ся такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рую нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние а, чтобы по­лу­чить число b.

Ис­хо­дя из опре­де­ле­ния, имеем ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

То есть, любое по­ло­жи­тель­ное число b можно пред­ста­вить при по­мо­щи ос­нов­но­го ло­га­риф­ми­че­ско­го тож­де­ства.

Рас­смот­рим кон­крет­ный при­мер: .

Рис. 1. Гра­фик урав­не­ния 

По гра­фи­ку оче­вид­но, что каж­дое свое по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние функ­ция до­сти­га­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та.

Ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния будет такое зна­че­ние ар­гу­мен­та:

.

Пе­рей­дем к до­ка­за­тель­ству тео­рем, яв­ля­ю­щих­ся непо­сред­ствен­ной целью дан­но­го урока.

 2. Логарифм произведения, формула, примеры

Тео­ре­ма 1:

Ло­га­рифм про­из­ве­де­ния двух по­ло­жи­тель­ных чисел равен сумме ло­га­риф­мов этих чисел.

Здесь 

До­ка­за­тель­ство:

Пред­ста­вим числа b и с с по­мо­щью ос­нов­но­го ло­га­риф­ми­че­ско­го тож­де­ства:

Тогда:

Со­глас­но свой­ству сте­пе­ни при умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем, по­ка­за­те­ли скла­ды­ва­ют­ся. По­лу­ча­ем:

По опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма имеем:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Вы­ве­ден­ная фор­му­ла при­ме­ня­ет­ся для вы­пол­не­ния раз­лич­но­го рода вы­чис­ле­ний.

При­мер 1 – вы­чис­лить:

а) 

Неслож­но до­га­дать­ся, что сумму ло­га­риф­мов с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем можно пред­ста­вить как ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

б) 

Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру пред­став­ля­ем сумму де­ся­тич­ных ло­га­риф­мов как ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

Ком­мен­та­рий: в ходе ре­ше­ния была при­ме­не­на фор­му­ла 

 3. Логарифм произведения трех положительных чисел

Обоб­щим вы­ве­ден­ную фор­му­лу для про­из­ве­де­ния трех по­ло­жи­тель­ных чисел.

До­ка­зать:

Здесь 

До­ка­за­тель­ство:

При­ме­ним два­жды вы­ве­ден­ную фор­му­лу, на пер­вом шаге будем счи­тать про­из­ве­де­ние bc за еди­ное число:

Те­перь рас­кро­ем пер­вый ло­га­рифм по той же фор­му­ле:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Пе­рей­дем к сле­ду­ю­щей фор­му­ле.

Дано:

До­ка­зать: 

Пред­ста­вим числа b и с с по­мо­щью ос­нов­но­го ло­га­риф­ми­че­ско­го тож­де­ства:

Тогда:

Со­глас­но свой­ству сте­пе­ни, при умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем по­ка­за­те­ли скла­ды­ва­ют­ся. По­лу­ча­ем:

По опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма имеем:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­мер 2 – вы­чис­лить:

а) 

 4. Логарифм частного, формула, примеры

Со­глас­но вы­ве­ден­ной фор­му­ле, раз­ность ло­га­риф­мов с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем можем пред­ста­вить как ло­га­рифм част­но­го:

б) 

Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру:

Итак, мы изу­чи­ли неко­то­рые важ­ные свой­ства ло­га­риф­ма, вы­ве­ли фор­му­лы для ло­га­риф­ма про­из­ве­де­ния и ло­га­риф­ма част­но­го. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/svoystva-logarifmov-logarifm-proizvedeniya-i-chastnogo

http://www.youtube.com/watch?v=E6Fvr-ZqTPY

http://www.youtube.com/watch?v=4G5MwpCqpt8

http://www.youtube.com/watch?v=bedEE55Bd8A

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://www.cleverstudents.ru/logarithms/properties_of_logarithms.html

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_3_1.php

http://www.webmath.ru/primeri_reshenii/logarithm.php?part=1&example=1

 

Файлы