11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

Если a > 1, то функция y=logₐx принимает (см. изображение) ...

Комментарии преподавателя

 Определение и свойства логарифмической функции

На­пом­ним, что ло­га­риф­ми­че­ской на­зы­ва­ет­ся функ­ция вида , где . Здесь  – неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, ар­гу­мент;  – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, фун­ция;  – ос­но­ва­ние, фик­си­ро­ван­ное число.

Рис. 1 – гра­фик ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции при  (чер­ный) и  (крас­ный)

Ос­нов­ные свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции:

1) Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

2) Об­ласть зна­че­ний: ;

3) ;

4) при  функ­ция воз­рас­та­ет,  при  – убы­ва­ет;

Итак, под зна­ком ло­га­риф­ма может сто­ять толь­ко по­ло­жи­тель­ное число, при­чем любое. Сам же ло­га­рифм может при­ни­мать аб­со­лют­но любые зна­че­ния. Ло­га­рифм еди­ни­цы при любом ос­но­ва­нии равен нулю, то есть все ло­га­риф­ми­че­ские кри­вые про­хо­дят через фик­си­ро­ван­ную точку .

 Монотонность логарифмической функции

Мы мно­го­крат­но ука­зы­ва­ли на мо­но­тон­ность ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, но ни­ко­гда не до­ка­зы­ва­ли этот факт. Рас­смот­рим на кон­крет­ном при­ме­ре и тогда ста­нет по­нят­но, как для любой ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции до­ка­зать факт ее мо­но­тон­но­го воз­рас­та­ния или убы­ва­ния.

За­да­ча:

До­ка­зать, что функ­ция  мо­но­тон­но воз­рас­та­ет.

До­ка­за­тель­ство:

На­пом­ним, что  (вы­ра­же­ние 1) яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния  (вы­ра­же­ние 2). Под­ста­вим зна­че­ние  из вы­ра­же­ния 1 вме­сто  в вы­ра­же­ние 2 и по­лу­чим ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

На­пом­ним, что здесь 

Утвер­жде­ние, что функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, озна­ча­ет, что боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции: . За­пи­шем  и  с по­мо­щью ос­нов­но­го ло­га­риф­ми­че­ско­го тож­де­ства:

Мы вы­бра­ли  и  из об­ла­сти опре­де­ле­ния, то есть оба эти числа по­ло­жи­тель­ны, так, что 

Имеем:

По­лу­чи­ли по­ка­за­тель­ное нера­вен­ство, в ко­то­ром ос­но­ва­ния сте­пе­ней равны и боль­ше еди­ни­цы, зна­чит, имеем право срав­нить по­ка­за­те­ли, со­хра­нив при этом знак нера­вен­ства:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 Решение простейших уравнений и неравенств

Пе­рей­дем к ре­ше­нию ти­по­вых задач.

При­мер 1 – ре­шить урав­не­ние, нера­вен­ство:

а) 

б) 

в) 

Рас­смот­рим гра­фик ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции :

Рис. 2 – гра­фик функ­ции 

Оче­вид­но, что функ­ция воз­рас­та­ет.

Решим урав­не­ние:

При­мер а) решен.

Итак, за­дан­ная функ­ция имеет един­ствен­ный ко­рень и вся об­ласть опре­де­ле­ния раз­би­ва­ет­ся этим кор­нем на два ин­тер­ва­ла: пер­вый ин­тер­вал , здесь функ­ция от­ри­ца­тель­на, кри­вая на­хо­дит­ся под осью; вто­рой ин­тер­вал , здесь функ­ция по­ло­жи­тель­на, кри­вая на­хо­дит­ся над осью. Ответ оче­ви­ден.

Ответ: а) ; б) ; в) 

Решим ана­ло­гич­ную за­да­чу.

При­мер 2:

а) 

б) 

в) 

Рас­смот­рим гра­фик ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции :

Рис. 3 – гра­фик функ­ции 

Оче­вид­но, что функ­ция убы­ва­ет.

Решим урав­не­ние: 

При­мер а) решен.

Итак, за­дан­ная функ­ция имеет един­ствен­ный ко­рень и вся об­ласть опре­де­ле­ния раз­би­ва­ет­ся этим кор­нем на два ин­тер­ва­ла: пер­вый ин­тер­вал , здесь функ­ция по­ло­жи­тель­на, кри­вая на­хо­дит­ся над осью; вто­рой ин­тер­вал , здесь функ­ция от­ри­ца­тель­на, кри­вая на­хо­дит­ся под осью. Ответ оче­ви­ден.

Ответ: а) ; б); в) 

 Оценка логарифмических констант

Важ­ной ти­по­вой за­да­чей яв­ля­ет­ся оцен­ка ло­га­риф­ми­че­ских кон­стант.

При­мер 3 – оце­нить числа:

а) ;

а) ;

Рас­смот­рим ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию с ос­нов­на­и­ем 2:

Рис. 4 – гра­фик функ­ции 

При  функ­ция равна нулю. По­ка­жем неко­то­рые сте­пе­ни двой­ки. На­при­мер,  (пер­вая сте­пень), при этом  (вто­рая сте­пень), при этом  (тре­тья сте­пень), при этом 

Ар­гу­мент  рас­по­ло­жен между  и , от­сю­да зна­че­ние функ­ции  рас­по­ло­же­но между двой­кой и трой­кой.

Ана­ло­гич­но ар­гу­мент  рас­по­ло­жен между  и , от­сю­да зна­че­ние функ­ции  рас­по­ло­же­но между еди­ни­цей и двой­кой.

Ответ: а) ; б) 

При­мер 4 – ре­шить нера­вен­ство:

 

Оче­вид­но, что ре­ше­ние сво­дит­ся к оцен­ке ло­га­риф­ми­че­ских кон­стант.

Итак, оце­ним пер­вый ло­га­рифм, вто­рой ло­га­рифм, а затем всю скоб­ку.

, т.к. 

, т.к. 

Таким об­ра­зом, пер­вый ло­га­рифм лежит в пре­де­лах от двух до трех, а вто­рой – от трех до че­ты­рех, оче­вид­но, что их раз­ность  мень­ше либо равна нулю. Таким об­ра­зом, чтобы вы­пол­ня­лось за­дан­ное нера­вен­ство необ­хо­ди­мо чтобы  был от­ри­ца­тель­ным.

Ответ:

 Построение графиков логарифмических функций

При­мер 5 – по­стро­ить гра­фик функ­ции: 

Чтобы уве­рен­но ре­шать по­доб­ные за­да­чи, нужно знать внеш­ний вид гра­фи­ка ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции и знать пра­ви­ла пре­об­ра­зо­ва­ния гра­фи­ков. В дан­ном слу­чае пер­вым дей­стви­ем мы стро­им граик функ­ции , а вто­рым сдви­га­ем его на две еди­ни­цы впра­во.

Рис. 5 – ре­ше­ние при­ме­ра 5

В сле­ду­ю­щих за­да­чах важно учи­ты­вать об­ласть опре­де­ле­ния.

При­мер 6 – по­стро­ить гра­фик функ­ции:

а) 

Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния. За­дан­ный ло­га­рифм су­ще­ству­ет, когда ар­гу­мент боль­ше нуля и не равен еди­ни­це:

, т.к. 

По­лу­ча­ем гра­фик функ­ции:

Рис. 6 – ре­ше­ние при­ме­ра 6.а

б) 

За­дан­ная функ­ция опре­де­ле­на, когда ар­гу­мент стро­го боль­ше нуля:

, со­глас­но ос­нов­но­му ло­га­риф­ми­че­ско­му тож­де­ству.

Имеем гра­фик функ­ции:

Рис. 7 – ре­ше­ние при­ме­ра 6.б

 Задача на область значений функции

При­мер 7 – найти об­ласть зна­че­ний функ­ции: 

Изу­чим функ­цию 

Это квад­ра­тич­ная функ­ция, 

Те­перь за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию об­ла­сти зна­че­ний сле­ду­ю­щей функ­ции:

Дан­ная функ­ция нам зна­ко­ма, мы знаем, что ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция с ос­но­ва­ни­ем 2 мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, ис­хо­дя из этого, нам до­ста­точ­но найти зна­че­ние функ­ции при :

Ответ:

 

Итак, мы до­ста­точ­но по­дроб­но изу­чи­ли ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию, ее со­вй­ства и гра­фи­ки, на­учи­лись ре­шать ос­нов­ные ти­по­вые за­да­чи. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/funktsiya-y-log-sub-a-sub-x-ee-svoystva-i-grafik-reshenie-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=ij3Sn2lp0BM

http://www.youtube.com/watch?v=FnEEydWzeoQ

http://www.youtube.com/watch?v=8TrD2ziCoZk

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://menami.ru/wp-content/uploads/2015/06/analys_funkzii9.jpg

http://u.900igr.net/zip/81479fcdadcadae8126874b628b19485.zip

http://u.900igr.net/zip/50889604f88d66ce8cddc598c260da4d.zip

http://le-savchen.ucoz.ru/load/0-0-0-162-20

http://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/pokazatelnaia-i-logarifmicheskaia-funktcii-9160/logarifmicheskaia-funktciia-9167/re-ec4dece9-1c52-4123-8e5d-f460c69d83b8

 

Файлы