11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

Функцию, заданную формулой y=logₐx, называют ...

Комментарии преподавателя

 Свойства показательной функции

По­ня­тие ло­га­риф­ма, свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции опре­де­ля­ют­ся свой­ства­ми по­ка­за­тель­ной функ­ции и за­ви­сят от них.

На­пом­ним свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции на кон­крет­ном при­ме­ре:

Ос­но­ва­ние функ­ции боль­ше еди­ни­цы, по­стро­им гра­фик (рис. 1):

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

Свой­ства за­дан­ной функ­ции:

1. Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

2. Об­ласть зна­че­ний: ;

3. Функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния.

Каж­до­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное зна­че­ние функ­ции, каж­до­му зна­че­нию функ­ции со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное зна­че­ние ар­гу­мен­та, ко­то­рое и на­зы­ва­ет­ся ло­га­риф­мом.

На­при­мер:

В общем слу­чае:

 Определение логарифма, доказательство существования логарифмической функции

Те­перь мы можем вспом­нить опре­де­ле­ние ло­га­риф­ма в общем виде.

При вы­пол­не­нии по­став­лен­ных усло­вий урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние:

Опре­де­ле­ние:

Ло­га­риф­мом числа b по ос­но­ва­нию а на­зы­ва­ет­ся такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рую нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние а, чтобы по­лу­чить число b.

На­при­мер:

Из всего вы­ше­ска­зан­но­го можем сде­лать важ­ный вывод:

На мно­же­стве  су­ще­ству­ет функ­ция , где а – по­ло­жи­тель­ное число, не рав­ное еди­ни­це.

Спра­ва по­ка­за­тель­ная функ­ция, свой­ства ко­то­рой мы по­вто­ри­ли, ос­но­ва­ние а – по­ло­жи­тель­ное число, не рав­ное еди­ни­це, функ­ция при­об­ре­та­ет все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, от­сю­да сле­ду­ет, что функ­ция, сто­я­щая слева, су­ще­ству­ет на за­дан­ном мно­же­стве зна­че­ний ар­гу­мен­та.

На­при­мер:

 Логарифмическая функция с основанием, большим единицы, ее свойства и график

Нач­нем изу­че­ние ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции с рас­смот­ре­ния ее част­но­го слу­чая, а имен­но 

Со­ста­вим таб­ли­цу для по­стро­е­ния функ­ции и ее ис­сле­до­ва­ния:

Чтобы вы­чис­лить зна­че­ния функ­ции, вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой: 

Осталь­ные зна­че­ния вы­чис­ля­ют­ся ана­ло­гич­но.

1

2

4

8

-2

-1

0

1

2

3

По­стро­им гра­фик функ­ции по по­лу­чен­ным точ­кам (рис. 2):

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

Про­чтем гра­фик за­дан­ной ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции и сфор­му­ли­ру­ем ее свой­ства. Если ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля (не вклю­чи­тель­но) до бес­ко­неч­но­сти, функ­ция воз­рас­та­ет от минус до плюс бес­ко­неч­но­сти. Свой­ства любой ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции с ос­но­ва­ни­ем, боль­шим еди­ни­цы, будут ана­ло­гич­ны­ми.

Итак, свой­ства функ­ции :

1. Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

2. Функ­ция воз­рас­та­ет на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния;

3. Функ­ция не огра­ни­че­на ни свер­ху, ни снизу;

4. Функ­ция не имеет ни наи­боль­ше­го, ни наи­мень­ше­го зна­че­ний;

5. Функ­ция непре­рыв­на;

6. Об­ласть зна­че­ний: ;

7. Функ­ция вы­пук­ла вверх.

Еще раз под­черк­нем: под зна­ком ло­га­риф­ма может сто­ять толь­ко по­ло­жи­тель­ное число, сам ло­га­рифм может при­ни­мать любые зна­че­ния.

Также сле­ду­ет от­ме­тить, что ось у яв­ля­ет­ся асимп­то­той, т. к. если ар­гу­мент при­бли­жа­ет­ся к нулю неогра­ни­чен­но, функ­ция убы­ва­ет до минус бес­ко­неч­но­сти.

 Логарифмическая функция с основанием, лежащим в пределах от нулю до единицы, ее свойства и график

Пе­рей­дем к изу­че­нию ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции с ос­но­ва­ни­ем мень­шим еди­ни­цы, рас­смот­рим ее на кон­крет­ном при­ме­ре:

Со­ста­вим таб­ли­цу для по­стро­е­ния функ­ции и ее ис­сле­до­ва­ния:

Чтобы вы­чис­лить зна­че­ния функ­ции, вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой: 

Осталь­ные зна­че­ния вы­чис­ля­ют­ся ана­ло­гич­но.

1

2

4

8

2

1

0

-1

-2

-3

По­стро­им гра­фик функ­ции по по­лу­чен­ным точ­кам (рис. 3):

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

Про­чтем гра­фик за­дан­ной ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции и сфор­му­ли­ру­ем ее свой­ства. Если ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля (не вклю­чи­тель­но) до бес­ко­неч­но­сти, функ­ция убы­ва­ет от бес­ко­неч­но­сти до минус бес­ко­неч­но­сти. Свой­ства любой ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции с ос­но­ва­ни­ем, при­над­ле­жа­щим про­ме­жут­ку от нуля до еди­ни­цы, не вклю­чая гра­ни­цы, будут ана­ло­гич­ны­ми.

Итак, свой­ства функ­ции :

1. Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

2. Функ­ция убы­ва­ет на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния;

3. Функ­ция не огра­ни­че­на ни свер­ху, ни снизу;

4. Функ­ция не имеет ни наи­боль­ше­го, ни наи­мень­ше­го зна­че­ний;

5. Функ­ция непре­рыв­на;

6. Об­ласть зна­че­ний: ;

7. Функ­ция вы­пук­ла вниз.

Также сле­ду­ет от­ме­тить, что ось у яв­ля­ет­ся асимп­то­той, т. к. если ар­гу­мент при­бли­жа­ет­ся к нулю неогра­ни­чен­но, функ­ция убы­ва­ет до минус бес­ко­неч­но­сти.

 Решение примера

Те­перь рас­смот­рим ти­по­вую за­да­чу на свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции.

При­мер 1: найти мно­же­ство зна­че­ний функ­ции:

То есть, имеем ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию, за­дан­ную не на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния, а толь­ко на ее части.

Для на­гляд­но­сти по­стро­им гра­фик за­дан­ной функ­ции (рис. 4):

Рис. 4. Гра­фик функ­ции 

Мы знаем, что за­дан­ная функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, т. к. ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше еди­ни­цы, т. е. для вы­пол­не­ния за­да­ния до­ста­точ­но вы­чис­лить зна­че­ния функ­ции в гра­нич­ных точ­ках.

Ответ: при  

Итак, мы ввели по­ня­тие ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, рас­смот­ре­ли ее свой­ства и гра­фик. 

 Часть вторая. 1. Логарифм, определение, основные факты

Ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция ба­зи­ру­ет­ся на по­ня­тии ло­га­риф­ма и свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции , где  (ос­но­ва­ние сте­пе­ни а боль­ше нуля и не равно еди­ни­це).

Опре­де­ле­ние:

Ло­га­риф­мом числа b по ос­но­ва­нию а на­зы­ва­ет­ся такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рую нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние а, чтобы по­лу­чить число b.

При­ме­ры:

На­пом­ним ос­нов­ное пра­ви­ло: чтобы по­лу­чить число, сто­я­щее под ло­га­риф­мом, необ­хо­ди­мо ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма воз­ве­сти в сте­пень – зна­че­ние ло­га­риф­ма:

На­пом­ним важ­ные осо­бен­но­сти и свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции.

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай, когда ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы: :

Рис. 1. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции, ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы

Такая функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай, когда ос­но­ва­ние сте­пе­ни мень­ше еди­ни­цы :

Рис. 2. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции, ос­но­ва­ние сте­пе­ни мень­ше еди­ни­цы

Такая функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния.

В любом слу­чае, по­ка­за­тель­ная функ­ция мо­но­тон­на, при­ни­ма­ет все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния и, в силу своей мо­но­тон­но­сти, каж­дое по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние до­сти­га­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та. То есть, каж­дое кон­крет­ное зна­че­ние  функ­ция до­сти­га­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та , кор­нем урав­не­ния  и есть ло­га­рифм:

По сути, мы по­лу­чи­ли об­рат­ную функ­цию. Пря­мая функ­ция – это когда у нас есть неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная х (ар­гу­мент), за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная у (функ­ция), мы за­да­ли зна­че­ние ар­гу­мен­та и по нему по­лу­ча­ем зна­че­ние функ­ции. Об­рат­ная функ­ция: пусть неза­ви­си­мой пе­ре­мен­ной будет у, ведь мы уже ого­во­ри­ли, что каж­до­му по­ло­жи­тель­но­му зна­че­нию у со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное зна­че­ние х, опре­де­ле­ние функ­ции со­блю­да­ет­ся. Тогда х ста­но­вит­ся за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной.

Вывод:

Для мо­но­тон­ной пря­мой функ­ции  су­ще­ству­ет об­рат­ная функ­ция . Суть функ­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­сти не из­ме­нит­ся, если мы вве­дем пе­ре­обо­зна­че­ние:

По­лу­ча­ем:

Но нам при­выч­нее обо­зна­чать неза­ви­си­мую пе­ре­мен­ную за х, а за­ви­си­мую – за у:

Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию.

 2. Свойства показательной функции

Ис­поль­зу­ем общее пра­ви­ло по­лу­че­ния об­рат­ной функ­ции для кон­крет­ной по­ка­за­тель­ной функ­ции .

За­дан­ная функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет (со­глас­но свой­ствам по­ка­за­тель­ной функ­ции), зна­чит, су­ще­ству­ет об­рат­ная ей функ­ция. На­по­ми­на­ем, что для ее по­лу­че­ния необ­хо­ди­мо вы­пол­нить два дей­ствия:

Вы­ра­зить х через у:

По­ме­нять ме­ста­ми х и у:

         

 3. Логарифмическая функция как обратная к показательной

Итак, по­лу­чи­ли функ­цию, об­рат­ную за­дан­ной: . Как из­вест­но, гра­фи­ки пря­мой и об­рат­ной функ­ции сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой у=х. про­ил­лю­стри­ру­ем:

Рис. 3. Гра­фи­ки  функ­ций  и 

 4. Примеры нахождения обратной функции

Дан­ная за­да­ча ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но и спра­вед­ли­ва для лю­бо­го ос­но­ва­ния сте­пе­ни.

Решим за­да­чу при 

За­дан­ная функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет, зна­чит, су­ще­ству­ет об­рат­ная ей функ­ция. По­лу­чим ее:

Вы­ра­зить х через у:

По­ме­нять ме­ста­ми х и у:

Итак, по­лу­чи­ли функ­цию, об­рат­ную за­дан­ной: . Как из­вест­но, гра­фи­ки пря­мой и об­рат­ной функ­ции сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но пря­мой у=х. про­ил­лю­стри­ру­ем:

Рис. 4. Гра­фи­ки  функ­ций  и 

За­ме­тим, что мы по­лу­чи­ли ло­га­риф­ми­че­ские функ­ции как об­рат­ные к по­ка­за­тель­ным.

У пря­мой и об­рат­ной функ­ций есть много об­ще­го, но есть и от­ли­чия. Рас­смот­рим это по­дроб­нее на при­ме­ре функ­ций  и .

Рис. 5. Гра­фи­ки функ­ций  (слева) и (спра­ва)

 5. Связь прямой и обратной функции

Свой­ства пря­мой (по­ка­за­тель­ной) функ­ции:

Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

Об­ласть зна­че­ний: ;

Функ­ция воз­рас­та­ет;

Вы­пук­ла вниз.

Свой­ства об­рат­ной (ло­га­риф­ми­че­ской) функ­ции:

Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

Об­ласть зна­че­ний: ;

Функ­ция воз­рас­та­ет;

Вы­пук­ла вверх.

Об­ра­тим вни­ма­ние, что об­ласть опре­де­ле­ния и об­ласть зна­че­ний пря­мой и об­рат­ной функ­ции ме­ня­ют­ся ме­ста­ми. Кроме того, если пря­мая функ­ция воз­рас­та­ет, то и об­рат­ная воз­рас­та­ет. И, на­ко­нец, если пря­мая функ­ция вы­пук­ла вниз, то об­рат­ная – вверх.

Таким об­ра­зом, мы под­твер­ди­ли связь пря­мой и об­рат­ной функ­ции.

Итак, мы изу­чи­ли ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию и ее связь с по­ка­за­тель­ной функ­ци­ей. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/funktsiya-y-log-sub-a-sub-x-ee-svoystva-i-grafik

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/funktsiya-y-log-sub-a-sub-x-ee-svoystva-i-grafik-prodolzhenie

http://www.youtube.com/watch?v=l7Zl61Iqbug

http://www.youtube.com/watch?v=FnEEydWzeoQ

http://u.900igr.net/zip/81479fcdadcadae8126874b628b19485.zip

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://menami.ru/wp-content/uploads/2015/06/analys_funkzii9.jpg

 

 

Файлы