11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Понятие логарифма. Функция y=logₐx, ее свойства и график.

Комментарии преподавателя

 1. Основание для введения нового понятия, логарифм в частном случае

Ло­га­рифм для нас – новое по­ня­тие. По­лез­но вспом­нить си­ту­а­ции, когда мы вво­ди­ли новые по­ня­тия, то есть когда без них уже невоз­мож­но обой­тись. Для этого решим несколь­ко при­ме­ров.

При­мер 1:

Мы знаем, как ре­ша­ют­ся по­доб­ные урав­не­ния. Решим его двумя спо­со­ба­ми.

Спо­соб 1 (ана­ли­ти­че­ский):

В дан­ном спо­со­бе мы урав­ня­ли ос­но­ва­ния сте­пе­ней и при­рав­ня­ли по­лу­чен­ные по­ка­за­те­ли.

Спо­соб 2 (гра­фи­че­ский):

Раз­би­ва­ем за­дан­ное урав­не­ние на две функ­ции и вы­пол­ня­ем по­стро­е­ние в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Рис. 1. Гра­фик к при­ме­ру 1

Гра­фик пер­вой функ­ции – экс­по­нен­та, вто­рой – пря­мая. , сле­до­ва­тель­но, имеем един­ствен­ную точку пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков – един­ствен­ный ко­рень урав­не­ния, ко­то­рый легко уга­ды­ва­ет­ся и про­ве­ря­ет­ся под­ста­нов­кой в за­дан­ное урав­не­ние.

Ответ: 

При­мер 2:

Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру, решим двумя спо­со­ба­ми.

Спо­соб 1 (ана­ли­ти­че­ский):

Спо­соб 2 (гра­фи­че­ский):

Рис. 2. Гра­фик к при­ме­ру 2

Ответ: 

До сих пор для ре­ше­ния урав­не­ний нам не тре­бо­ва­лось ни­ка­ких новых тер­ми­нов.

При­мер 3:

Пы­та­ем­ся ре­шить пер­вым спо­со­бом:

Не можем найти под­хо­дя­щую сте­пень числа 2, не можем урав­нять ос­но­ва­ния.

Воз­мож­но, урав­не­ние не имеет ре­ше­ния. По­стро­им гра­фик:

Рис. 3. Гра­фик к при­ме­ру 3

Оче­вид­но, что ре­ше­ние есть, т. к. гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся, но уга­дать или по­до­брать ко­рень невоз­мож­но.

Экс­по­нен­та  рас­се­ка­ет пря­мую  в един­ствен­ной точке, этой точке со­от­вет­ству­ет кон­крет­ное зна­че­ние ар­гу­мен­та, ко­то­рое на­зва­ли ло­га­риф­мом числа 11 по ос­но­ва­нию 2:

Итак, ло­га­рифм – это такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рый нужно воз­ве­сти ее ос­но­ва­ние, чтобы по­лу­чить за­дан­ное число, т. е. ло­га­рифм один­на­дца­ти по ос­но­ва­нию два – это такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рый нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние два, чтобы по­лу­чить один­на­дцать.

Те­перь рас­смот­рим общий слу­чай и дадим стро­гое опре­де­ле­ние.

Рас­смот­рим урав­не­ние:

При вы­пол­не­нии по­став­лен­ных усло­вий урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние:

 2. Строгое определение логарифма, основное логарифмическое тождество, элементарные примеры

Опре­де­ле­ние:

Ло­га­риф­мом числа b по ос­но­ва­нию а на­зы­ва­ет­ся такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рую нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние а, чтобы по­лу­чить число b.

Ис­хо­дя из опре­де­ле­ния, имеем ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

На­при­мер:

 3. Основное правило для решения простейших задач, примеры

От­ме­тим важ­ное пра­ви­ло:

Чтобы по­лу­чить число b, сто­я­щее под зна­ком ло­га­риф­ма, необ­хо­ди­мо воз­ве­сти ос­но­ва­ние а в сте­пень х:

 

 4. Решение типовых задач с логарифмами

При­мер 4 – вы­чис­лить:

а) 

б) 

Ре­ше­ние:

Обо­зна­чим ис­ко­мые ло­га­риф­мы через х и у и ис­поль­зу­ем пра­ви­ло:

а) 

По­лу­чи­ли по­ка­за­тель­ное урав­не­ние, ре­шать такие урав­не­ния мы уже умеем. Урав­ня­ем ос­но­ва­ния и по­лу­чим ответ:

б) 

По­лу­чи­ли по­ка­за­тель­ное урав­не­ние, ре­шать такие урав­не­ния мы уже умеем. Урав­ня­ем ос­но­ва­ния и по­лу­чим ответ:

При­мер 5 – про­ве­рить ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми:

а) 

Ис­поль­зу­ем пра­ви­ло:

Ра­вен­ство верно

б) 

Ис­поль­зу­ем пра­ви­ло:

Ра­вен­ство верно

Рас­смот­рим про­стей­шие урав­не­ния.

При­мер 6 – ре­шить урав­не­ние:

а) 

Ис­поль­зу­ем пра­ви­ло:

Oбра­тим вни­ма­ние, что под ло­га­риф­мом долж­но сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ное число:

Най­ден­ное ре­ше­ние удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ, т. к. 

б) 

Ис­поль­зу­ем пра­ви­ло:

, ОДЗ со­блю­де­но

в) 

Ис­поль­зу­ем пра­ви­ло:

Под­ло­га­риф­ми­че­ское вы­ра­же­ние оче­вид­но по­ло­жи­тель­но

Ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма долж­но быть боль­ше нуля и не рав­ным еди­ни­це:

Най­ден­ный ко­рень удо­вле­тво­ря­ет усло­вию

г) 

Ис­поль­зу­ем пра­ви­ло:

Под­ло­га­риф­ми­че­ское вы­ра­же­ние оче­вид­но по­ло­жи­тель­но

Най­ден­ный ко­рень удо­вле­тво­ря­ет усло­вию

Боль­шую роль в вы­чис­ли­тель­ных за­да­чах с ло­га­риф­ма­ми имеет ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство.

При­мер 7 – вы­чис­лить:

а) 

б) 

вос­поль­зу­ем­ся свой­ством сте­пе­ни: если в по­ка­за­те­ле сте­пе­ни стоит сумма, сте­пень можно пред­ста­вить как про­из­ве­де­ние сте­пе­ней с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем:

Итак, на дан­ном уроке мы по­зна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем ло­га­риф­ма, рас­смот­ре­ли его ос­нов­ные свой­ства и ре­ши­ли про­стей­шие ти­по­вые за­да­чи. 

 Часть вторая. 1. Определение и свойства показательной функции, определение логарифма

На­пом­ним, от­ку­да по­яви­лось по­ня­тие ло­га­риф­ма. Для этого вспом­ним по­ня­тие по­ка­за­тель­ной функ­ции и ее важ­ней­шие свой­ства.

По­ка­за­тель­ная функ­ция – это функ­ция вида , где  и :

Рис. 1. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции

На гра­фи­ке крас­ным по­ка­за­на по­ка­за­тель­ная функ­ция с ос­но­ва­ни­ем, мень­шим еди­ни­цы (), а чер­ным – с ос­но­ва­ни­ем, боль­шим еди­ни­цы ().

Ос­нов­ные свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции:

Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

Об­ласть зна­че­ний: ;

Функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет при  и мо­но­тон­но убы­ва­ет при 

Как и с любой функ­ци­ей, с по­ка­за­тель­ной свя­за­ны две ос­нов­ные за­да­чи:

Пря­мая – по за­дан­но­му зна­че­нию ар­гу­мен­та опре­де­лить зна­че­ние функ­ции: 

Об­рат­ная – по за­дан­но­му зна­че­нию функ­ции опре­де­лить зна­че­ние ар­гу­мен­та: 

Су­ще­ству­ет ли х? Да, су­ще­ству­ет. При вы­пол­не­нии всех за­дан­ных усло­вий ре­ше­ние урав­не­ния су­ще­ству­ет, и оно един­ствен­ное. Про­ил­лю­стри­ру­ем:

Рис. 2. Гра­фи­че­ское ре­ше­ние урав­не­ния  для  (левее) и  (пра­вее)

Каж­дое по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние b функ­ция  до­сти­га­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та. Дан­ное зна­че­ние ар­гу­мен­та носит на­зва­ние ло­га­риф­ма:

Опре­де­ле­ние:

Ло­га­риф­мом числа b по ос­но­ва­нию а на­зы­ва­ет­ся такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рую нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние а, чтобы по­лу­чить число b.

 2. Основное логарифмическое тождество, простейшие примеры

 3. Решение уравнений с логарифмами

При­ме­ры:

При­мер 1 – ре­шить урав­не­ние: (Рис. 3).

а) 

За­да­но про­стей­шее по­ка­за­тель­ное урав­не­ние, ко­то­рое мы умеем ре­шать. Урав­ня­ем ос­но­ва­ния сте­пе­ней:

По опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма:

б)  (Рис. 4).

За­да­но про­стей­шее по­ка­за­тель­ное урав­не­ние, ко­то­рое мы умеем ре­шать. Урав­ня­ем ос­но­ва­ния сте­пе­ней:

По опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма:

в)  (Рис. 5).

По опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма:

Cо­глас­но ос­нов­но­му ло­га­риф­ми­че­ско­му тож­де­ству ()

То есть, мы, как и рань­ше, урав­ня­ли ос­но­ва­ния сте­пе­ней и по­лу­чи­ли ответ.

г)  (Рис. 6).

По опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма:

Cо­глас­но ос­нов­но­му ло­га­риф­ми­че­ско­му тож­де­ству ()

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 1.а

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 1.б

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 1.в

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 1.г

При­мер 2:

До­ка­зать, что число  – ир­ра­ци­о­наль­ное.

На­пом­ним, что ра­ци­о­наль­ны­ми чис­ла­ми на­зы­ва­ют­ся дроби, где чис­ли­тель – любое целое, а зна­ме­на­тель – любое на­ту­раль­ное число:

До­ка­за­тель­ство – от про­тив­но­го:

Пусть число  – ра­ци­о­наль­ное. Мы знаем, что дан­ное число по­ло­жи­тель­но. По­лу­ча­ем:

Тогда по ос­нов­но­му пра­ви­лу имеем:

Воз­ве­дем обе части по­лу­чен­но­го урав­не­ния в сте­пень n:

По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие:  имеет про­стые со­мно­жи­те­ли числа 3, а  – числа 2,  не крат­но двум:

По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие до­ка­зы­ва­ет, что число  – ир­ра­ци­о­наль­ное.

При­мер 3 – ре­шить нера­вен­ство: Рис. 7.

Спо­соб 1 – ре­шить урав­не­ние и ис­поль­зо­вать свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции:

По опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма:

Рис. 10.7. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 3

Нас ин­те­ре­су­ют те зна­че­ния ар­гу­мен­та, при ко­то­рых по­ка­за­тель­ная функ­ция боль­ше ли­ней­ной. Оче­вид­но, что это зна­че­ния 

Ответ: 

Спо­соб 2 – урав­нять ос­но­ва­ния:

При­ме­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы, по­лу­ча­ем ответ:

По­лу­чи­ли такой же ответ, как и при ре­ше­нии пер­вым спо­со­бом.

 4. Решение других типовых задач

При­мер 4 – вы­чис­лить:

а) 

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством сте­пе­ни – если в по­ка­за­те­ле стоит про­из­ве­де­ние, имеем право пред­ста­вить сте­пень как воз­ве­ден­ную в сте­пень:

При­ме­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

б) 

Со­глас­но опре­де­ле­нию, сте­пень с от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем можно пред­ста­вить в виде дроби:

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством сте­пе­ни – если в по­ка­за­те­ле стоит про­из­ве­де­ние, имеем право пред­ста­вить сте­пень как воз­ве­ден­ную в сте­пень:

При­ме­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

Итак, на дан­ном уроке мы вспом­ни­ли опре­де­ле­ние и свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции, опре­де­ле­ние и ос­нов­ные свой­ства ло­га­риф­ма. Также мы на­учи­лись ре­шать ос­нов­ные ти­по­вые за­да­чи с ло­га­риф­ма­ми. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/ponyatie-logarifma

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/ponyatie-logarifma-prosteyshie-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=KR6GljPluE4

http://www.youtube.com/watch?v=-T2kfR6qFYE

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://uztest.ru/abstracts/?id=25&t=2

http://mathematics-tests.com/11-klass-uroki-presentatsii/algebra-11-klass-urok-logarifmy

http://www.funlib.ru/cimg/2014/101913/3520817

 

Файлы