9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.

9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.

Координаты любой точки ...

Комментарии преподавателя

 Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Ранее мы ввели по­ня­тие еди­нич­ных век­то­ров .

По этим еди­нич­ным век­то­рам любой век­тор  рас­кла­ды­ва­ет­ся од­но­знач­но и имеет ко­ор­ди­на­ты:.

Это озна­ча­ет, что век­тор яв­ля­ет­ся ли­ней­ной ком­би­на­ци­ей век­то­ров :

.

Возь­мем точку .

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Век­тор  на­зы­ва­ет­ся ра­ди­ус-век­то­ром точки  и в точ­но­сти равен век­то­ру .

Ко­ор­ди­на­ты точки  равны со­от­вет­ству­ю­щим ко­ор­ди­на­там век­то­ра .

Рас­смот­рим те­перь век­тор , у ко­то­ро­го на­ча­лом может быть про­из­воль­ная точка, от­лич­ная от на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

Дано: 

Найти: ко­ор­ди­на­ты век­то­ра .

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Мы уже знаем, как на­хо­дить ко­ор­ди­на­ты век­то­ра с на­ча­лом в точке . По­стро­им век­то­ры  и  и най­дем их ко­ор­ди­на­ты (рис. 3).

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Поль­зу­ясь преды­ду­щим пра­ви­лом, утвер­жда­ем, что ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки , а ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки :

 .

Век­тор  равен раз­но­сти век­то­ров  и :

Пра­ви­ло. Каж­дая ко­ор­ди­на­та век­то­ра равна раз­но­сти со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат его конца и на­ча­ла.

 Решение задач

За­да­ча 1.

Дано: ко­ор­ди­на­ты точек 

Найти: ко­ор­ди­на­ты век­то­ров

а)       

б)      .

Ре­ше­ние: нач­нем с ил­лю­стра­ции (рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

а)      : из ко­ор­ди­нат конца вы­чтем ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла:

.

Ком­мен­та­рий: век­тор  про­ек­ти­ру­ет­ся на ось , длина про­ек­ции равна 2, знак минус со­от­вет­ству­ет знаку про­ек­ции.  про­ек­ти­ру­ет­ся на ось , длина про­ек­ции равна 2, знак плюс.

Ответ: 

б)      Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем ко­ор­ди­на­ты : из ко­ор­ди­нат конца вы­чтем ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла:

Видно, что век­тор  про­ти­во­по­ло­жен век­то­ру .

За­да­ча 2.

Дано:  .

Найти: числа 

Ре­ше­ние: чтобы по­лу­чить ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  нужно из ко­ор­ди­нат конца вы­честь ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла:

С дру­гой сто­ро­ны, век­тор   имеет ко­ор­ди­на­ты .

В силу тео­ре­мы о един­ствен­но­сти раз­ло­же­ния век­то­ра по­лу­ча­ем си­сте­му:

          

Ответ: 

За­да­ча 3.

Дано: па­рал­ле­ло­грамм    .

Найти: ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны 

Ре­ше­ние: снова нач­нем с чер­те­жа (рис. 5).

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Так как дан па­рал­ле­ло­грамм, можно по­стро­ить точку  Пусть точка D имеет ко­ор­ди­на­ты D(x; y).

 па­рал­ле­ло­грамм, зна­чит, 

Чтобы найти ко­ор­ди­на­ты  и , нужно из ко­ор­ди­нат конца вы­честь ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла:

     

Ответ: 

Ком­мен­та­рий: эту же за­да­чу можно ре­шить вто­рым спо­со­бом, если при­рав­нять век­то­ры  и .

 Заключение

Итак, мы рас­смот­ре­ли, как вы­чис­лить ко­ор­ди­на­ты век­то­ра, если из­вест­ны ко­ор­ди­на­ты его на­ча­ла и конца, про­ил­лю­стри­ро­ва­ли это пра­ви­ло на при­ме­рах. Далее будем ис­поль­зо­вать это пра­ви­ло при ре­ше­нии дру­гих задач на век­то­ры.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/svyaz-mezhdu-koordinatami-vektora-i-koordinatami-ego-nachala-i-kontsa

http://www.youtube.com/watch?v=otNtHn2utJQ

http://www.youtube.com/watch?v=3-bPqJEEOSs

http://5klass.net/datas/geometrija/Geometrija-9-klass/0004-004-Geometrija-9-klass.jpg

http://math-box.net/wp-content/plugins/download-form/force_download.php?id=348&token=d8c6167a345b642d0476813226bb3336

http://uslide.ru/uploads/files/22/koordinati-vektora-geometriya.ppt

http://u.900igr.net/zip/90865838144a6cb1233d82da53257e3c.zip

Файлы