9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.
9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.
Комментарии преподавателя
Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца
Ранее мы ввели понятие единичных векторов 
.
По этим единичным векторам любой вектор 
раскладывается однозначно и имеет координаты:
.
Это означает, что вектор
является линейной комбинацией векторов :
.
Возьмем точку 
.
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Вектор 
называется радиус-вектором точки 
и в точности равен вектору .
Координаты точки равны соответствующим координатам вектора .
Рассмотрим теперь вектор 
, у которого началом может быть произвольная точка, отличная от начала координат.
Дано: 
, 
Найти: координаты вектора 
.
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
Мы уже знаем, как находить координаты вектора с началом в точке 
. Построим векторы и 
и найдем их координаты (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
Пользуясь предыдущим правилом, утверждаем, что координаты вектора совпадают с координатами точки , а координаты вектора совпадают с координатами точки 
:
.
Вектор равен разности векторов и :
Правило. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Решение задач
Задача 1.
Дано: координаты точек 
; 
Найти: координаты векторов
а) 
б) 
.
Решение: начнем с иллюстрации (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
а) : из координат конца вычтем координаты начала:
.
Комментарий: вектор проектируется на ось 
, длина проекции равна 2, знак минус соответствует знаку проекции. проектируется на ось 
, длина проекции равна 2, знак плюс.
Ответ: 
б) Аналогично получаем координаты : из координат конца вычтем координаты начала:
: 
Видно, что вектор противоположен вектору .
Задача 2.
Дано: 
; 
.
Найти: числа 
Решение: чтобы получить координаты вектора 
нужно из координат конца вычесть координаты начала:
С другой стороны, вектор имеет координаты 
.
В силу теоремы о единственности разложения вектора получаем систему:
Ответ: 
Задача 3.
Дано: параллелограмм 
.
Найти: координаты вершины 
Решение: снова начнем с чертежа (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Так как дан параллелограмм, можно построить точку 
Пусть точка D имеет координаты D(x; y).
параллелограмм, значит, 
Чтобы найти координаты 
и 
, нужно из координат конца вычесть координаты начала:
Ответ: 
Комментарий: эту же задачу можно решить вторым способом, если приравнять векторы 
и .
Заключение
Итак, мы рассмотрели, как вычислить координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, проиллюстрировали это правило на примерах. Далее будем использовать это правило при решении других задач на векторы.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/svyaz-mezhdu-koordinatami-vektora-i-koordinatami-ego-nachala-i-kontsa
http://www.youtube.com/watch?v=otNtHn2utJQ
http://www.youtube.com/watch?v=3-bPqJEEOSs
http://5klass.net/datas/geometrija/Geometrija-9-klass/0004-004-Geometrija-9-klass.jpg
http://math-box.net/wp-content/plugins/download-form/force_download.php?id=348&token=d8c6167a345b642d0476813226bb3336
http://uslide.ru/uploads/files/22/koordinati-vektora-geometriya.ppt
http://u.900igr.net/zip/90865838144a6cb1233d82da53257e3c.zip