9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.

9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.

Комментарии преподавателя

 

 Определение вектора, равных векторов, коллинеарных векторов

Век­то­ром  (или век­то­ром ) на­зы­ва­ет­ся на­прав­лен­ный от­ре­зок, у ко­то­ро­го из­вест­ны на­ча­ло и конец (рис. 1).

Рис. 1. Век­тор

Рас­смот­рим, какие два век­то­ра яв­ля­ют­ся рав­ны­ми.

Для этого сна­ча­ла вве­дем по­ня­тие кол­ли­не­ар­ных век­то­ров. Кол­ли­не­ар­ны­ми на­зы­ва­ют­ся век­то­ры, ко­то­рые лежат либо на одной пря­мой, либо на па­рал­лель­ных пря­мых (рис. 2).

||

Рис. 2. Кол­ли­не­ар­ные век­то­ры

Век­то­ры  и  кол­ли­не­ар­ные, их на­прав­ле­ния па­рал­лель­ны: ||. В дан­ном слу­чае век­то­ры про­ти­во­на­прав­ле­ны.

Итак, когда век­то­ры рав­ные? Тогда, когда они кол­ли­не­ар­ны, со­на­прав­ле­ны и их длины равны.

Что озна­ча­ет, что век­тор ? Это озна­ча­ет, что их длины равны  |и они со­на­прав­ле­ны (рис. 3).

Рис. 3. Со­на­прав­лен­ные век­то­ры

Мы вспом­ни­ли, что такое век­тор, что такое рав­ные век­то­ры. С век­то­ра­ми без ко­ор­ди­нат мы умеем про­из­во­дить неко­то­рые вы­чис­ле­ния, на­при­мер скла­ды­вать, вы­чи­тать век­то­ры, умно­жать век­тор на число.

 Действия с векторами

Пред­по­ло­жим, дан век­тор  и век­тор : (рис. 4)

Рис. 4. Век­то­ры а и b

Что на­зы­ва­ет­ся сум­мой век­то­ров? От­кла­ды­ва­ем оба век­то­ра от одной точки, на этих век­то­рах стро­им па­рал­ле­ло­грамм, и диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся сум­мой этих век­то­ров.

Это на­зы­ва­ет­ся по­стро­е­ни­ем суммы век­то­ров по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма (рис. 5).

Рис. 5. По­стро­е­ние суммы век­то­ров по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма

Вспом­ним пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка: от­кла­ды­ва­ем век­тор  и от его конца от­кла­ды­ва­ем век­тор . Тре­тья сто­ро­на тре­уголь­ни­ка – это век­тор , ко­то­рый на­зы­ва­ет­ся сум­мой двух век­то­ров  +  (рис. 6)

Рис. 6. Сумма двух век­то­ров

Те­перь вспом­ним умно­же­ние век­то­ра на число. Пред­по­ло­жим, у нас есть век­тор  и нам нужно по­стро­ить век­тор 2.Для этого нужно взять век­тор и уве­ли­чить его длину в 2 раза (рис. 7).

Рис. 7. Умно­же­ние век­то­ров

Таким об­ра­зом, век­тор можно рас­тя­нуть в 2 раза, сжать в 2 раза путем его умно­же­ния на неко­то­рое число.

 Координаты вектора

Вве­дем по­ня­тие ко­ор­ди­нат век­то­ра. Пред­по­ло­жим, что у нас есть пря­мая и на этой пря­мой есть век­тор , тогда любой дру­гой век­тор , ко­то­рый рас­по­ло­жен на этой пря­мой или на па­рал­лель­ной пря­мой, од­но­знач­но вы­ра­жа­ет­ся через век­тор  (рис. 8).

Рис. 8. Вы­ра­же­ние век­то­ра b  через век­тор а.

Век­тор  равен век­то­ру , умно­жен­но­му на неко­то­рое число k. Век­тор  возь­мем за еди­нич­ный век­тор, век­тор , ко­то­рый кол­ли­не­а­рен век­то­ру  од­но­знач­но вы­ра­жа­ет­ся через век­тор  с по­мо­щью неко­то­ро­го числа k. Сле­до­ва­тель­но, век­тор  равен век­то­ру , умно­жен­но­му на неко­то­рое число k.

Те­перь возь­мем на плос­ко­сти два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра (век­тор  и век­тор ). Век­то­ры некол­ли­не­ар­ные, зна­чит, можно с их по­мо­щью вы­ра­зить любой тре­тий век­тор. Что это озна­ча­ет? Возь­мем век­тор . Век­тор  можно од­но­знач­но раз­ло­жить по век­то­рам  и . От­ме­тим про­из­воль­ную точку О и от­ло­жим от нее век­то­ры . Через точку Р про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой ОВ, обо­зна­чим через ОА1 точку пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с пря­мой ОА (рис. 9).

Рис. 9. Раз­ло­же­ние век­то­ра

При­ме­ним пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка, ко­то­рое мы рас­смот­ре­ли ранее. По этому пра­ви­лу
кол­ли­не­а­рен , зна­чит, су­ще­ству­ет число х такое, что хкол­ли­не­а­рен , зна­чит, су­ще­ству­ет число у такое, что , сле­до­ва­тель­но  

Это озна­ча­ет, что век­тор  раз­ла­га­ет­ся с по­мо­щью чисел ху по век­то­рам и . Эти числа на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра  при его раз­ло­же­нии по век­то­рам  и .  

До­ка­жем, что это раз­ло­же­ние век­то­ра ЕДИН­СТВЕН­НО. Пред­по­ло­жим про­тив­ное, что су­ще­ству­ет дру­гая пара чисел  таких, что  =+y'.

Вы­чтем два ра­вен­ства:

 

Это ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся толь­ко в том слу­чае, когда . До­ка­жем это ме­то­дом от про­тив­но­го:

Пусть , тогда 

Так как раз­ность  не равна нулю, на нее можно раз­де­лить обе части ра­вен­ства:

  =    , зна­чит век­то­ры  и кол­ли­не­ар­ные (||). Но это про­ти­во­ре­чит усло­вию. Зна­чит, ко­ор­ди­на­ты не могут быть раз­ны­ми и раз­ло­же­ние един­ствен­но.  

Итак, еще раз по­вто­рим тео­ре­му:

Любой век­тор од­но­знач­но раз­ла­га­ет­ся по некол­ли­не­ар­ным век­то­рам  и . Раз­ло­же­ние век­то­ра един­ствен­но, это озна­ча­ет, что су­ще­ству­ет един­ствен­ная пара чисел х и у таких, что 
. Эти числа и на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра при раз­ло­же­нии по век­то­рам .

 Координаты вектора в прямоугольной системе координат

Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат: xOy. Вве­дем еди­нич­ный век­тор , ко­то­рый рас­по­ло­жен на оси х и еди­нич­ный век­тор  на оси у. Эти век­то­ры некол­ли­не­ар­ные, они пер­пен­ди­ку­ляр­ные, зна­чит, любой век­тор од­но­знач­но раз­ла­га­ет­ся по этим некол­ли­не­ар­ным век­то­рам (рис. 10).

Рис. 10. Раз­ло­же­ние век­то­ра

Раз­ло­же­ние век­то­ра такое: .

Толь­ко что мы до­ка­за­ли, что такие числа ху су­ще­ству­ют. Они и яв­ля­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра  в пря­мо­уголь­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

За­пи­сы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­ты век­то­ра так:  либо так: = Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра свя­за­ны с про­ек­ци­я­ми век­то­ра на одну и дру­гую оси ко­ор­ди­нат.

 Решение задач

С ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра свя­за­ны два типа задач:

1. За­да­ны ко­ор­ди­на­ты век­то­ра – по­стро­ить сам век­тор.

2. Дан век­тор – найти его ко­ор­ди­на­ты.

Рас­смот­рим неко­то­рые из этих задач:

За­да­ча 1.

Дано: век­то­ры 

Тре­бу­ет­ся: по­стро­ить век­то­ры в пря­мо­уголь­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Ре­ше­ние: стро­им оси ко­ор­ди­нат ху, еди­нич­ный век­тор  и еди­нич­ный век­тор .  

Чтобы по­стро­ить век­тор , от­кла­ды­ва­ем 2 еди­ни­цы впра­во по оси х и 0 еди­ниц по оси у, по­лу­ча­ем век­тор .  

Чтоб по­стро­ить век­тор  от­кла­ды­ва­ем 3 еди­ни­цы влево по оси х и 1 еди­ни­цу вниз по оси у, по­лу­ча­ем век­тор .

Ана­ло­гич­но стро­им век­тор : от­кла­ды­ва­ем 2 еди­ни­цы впра­во по оси х и 4 еди­ни­цы вверх по оси у, по­лу­ча­ем век­тор  (рис. 11).

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ:             = ;

;

 = .

За­да­ча 2.

Дано:  

Найти: ко­ор­ди­на­ты век­то­ра .

Ре­ше­ние: эта за­да­ча об­рат­на преды­ду­щей. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра – это ко­эф­фи­ци­ен­ты раз­ло­же­ния 

Ответ: 

За­да­ча 3.

Дано:              

Найти: ко­ор­ди­на­ты век­то­ра .

Ре­ше­ние: ана­ло­гич­но преды­ду­щей за­да­че, 

Ответ: 

Сле­ду­ю­щая груп­па задач: най­ди­те числа х и у из ра­вен­ства век­то­ров.

За­да­ча 4.

Дано: 

Найти: х и у.

Ре­ше­ние: х и у – это ко­ор­ди­на­ты век­то­ра . Один и тот же век­тор рас­кла­ды­ва­ет­ся по некол­ли­не­ар­ным век­то­рам един­ствен­ным об­ра­зом, от­сю­да сле­ду­ет, что .

Ответ: .

За­да­ча 5.

Дано:  y.

Найти: х и у.

Ре­ше­ние: век­то­ры равны, а зна­чит раз­ло­же­ние оди­на­ко­во, то есть .

Ответ: .

За­да­ча 6.

Дано:  

Найти: х и у.

Ре­ше­ние: , сле­до­ва­тель­но, 

Ответ: 

 Заключение

Итак, мы рас­смот­ре­ли раз­ло­же­ние лю­бо­го век­то­ра по двум некол­ли­не­ар­ным век­то­рам, до­ка­за­ли един­ствен­ность этого раз­ло­же­ния. Ввели ко­ор­ди­нат­ные век­то­ры и и рас­смот­ре­ли раз­ло­же­ние век­то­ра по этим ко­ор­ди­нат­ным век­то­рам. Со­от­вет­ству­ю­щие ко­эф­фи­ци­ен­ты этого раз­ло­же­ния ху мы на­зва­ли ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра и ре­ши­ли неко­то­рые стан­дарт­ные за­да­чи с век­то­ра­ми. Далее нам нужно на­учить­ся осталь­ные опе­ра­ции с век­то­ра­ми про­во­дить через их ко­ор­ди­на­ты.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/koordinaty-vektora

http://www.youtube.com/watch?v=C6sGc4dG7_Y

http://www.youtube.com/watch?v=IFpbV_IHg6A

http://sesc.nsu.ru/letka-kz/attachments/article/3/vector.pdf

http://gdz-matem.ru/9class/28-101-koordinaty-vektora.html

http://www.openclass.ru/sites/default/files/dig_resource/2009/10/_ppt_12148.ppt

Файлы