9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.

9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.

Комментарии преподавателя

 Основные сведения о координатах вектора (напоминание)

Любой век­тор  раз­ла­га­ет­ся по век­то­рам  и  од­но­знач­но:

.

Если из­вест­но на­ча­ло век­то­ра – точка  и конец век­то­ра – точка то ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  то есть из ко­ор­ди­нат конца нужно вы­честь ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла.

Через ко­ор­ди­на­ты век­то­ров мы умеем на­хо­дить их сумму, раз­ность и про­из­ве­де­ние на число.

Поль­зу­ясь всем этим, рас­смот­рим три опор­ные за­да­чи:

 Координаты середины отрезка

За­да­ча 1. Ко­ор­ди­на­ты се­ре­ди­ны от­рез­ка.

Дано: от­ре­зок АВС – се­ре­ди­на АВ.

Найти: ко­ор­ди­на­ты точки .

Ре­ше­ние (рис. 1):

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

По­стро­им век­то­ры  и .

Най­дем век­тор :

Дру­гим путем:

.

Сло­жим:

Так как С – се­ре­ди­на от­рез­ка и век­то­ры  и  про­ти­во­на­прав­ле­ны, то , сле­до­ва­тель­но .

Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра 

Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки , ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки .

Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра   сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки , сле­до­ва­тель­но

 Определение длины вектора

За­да­ча 2. Вы­чис­ле­ние длины век­то­ра по его ко­ор­ди­на­там.

Дано: век­тор 

Найти: длину век­то­ра .

Ре­ше­ние (рис. 2):

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Задан век­тор , от­ло­жим его от на­ча­ла ко­ор­ди­нат, по­лу­чим век­тор  с на­ча­лом в точке  и кон­цом в точке .

  это про­ек­ция на ось ;

  это про­ек­ция на ось 

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра 

Если век­тор  задан сво­и­ми ко­ор­ди­на­та­ми, то его длина на­хо­дит­ся по фор­му­ле:

 Формула расстояния между точками

За­да­ча 3. Вы­чис­ле­ние рас­сто­я­ния между точ­ка­ми.

Дано: точки  и .

Найти: рас­сто­я­ние  между точ­ка­ми.

Ре­ше­ние (рис. 3):

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Рас­смот­рим век­тор . Из ко­ор­ди­нат конца вы­чтем ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла:

.

Те­перь нужно найти длину этого век­то­ра.

Для этого от­ло­жим его от на­ча­ла ко­ор­ди­нат (рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

По­лу­ча­ем точки  и 

Раз век­то­ры равны, то ко­ор­ди­на­ты точки  ( равны ко­ор­ди­на­там век­то­ра .

(По фор­му­ле, по­лу­чен­ной в за­да­че 2).

 Решение задач

За­да­ча 4.

Дано: от­ре­зок , точка  и точка   се­ре­ди­на .

Найти: ко­ор­ди­на­ты точки .

Ре­ше­ние (рис. 5):

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Каж­дая ко­ор­ди­на­та точки  равна по­лу­сум­ме со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат точек  

На­хо­дим :

  

Ответ: 

За­да­ча 5.

Дано:  .

Найти: рас­сто­я­ние =

Ре­ше­ние (рис. 6):

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: 

 Обзор основных сведений и формул для векторов в координатах

В ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти любой век­тор  од­но­знач­но раз­ла­га­ет­ся по век­то­рам  и  

Числа  опре­де­ля­ют­ся един­ствен­ным об­ра­зом и на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра  в дан­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат (рис. 1).

Рис. 1. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра

Если есть точка , то век­тор с на­ча­лом в на­ча­ле ко­ор­ди­нат, ко­то­рый на­зы­ва­ет­ся ра­ди­ус-век­то­ром точки , имеет те же самые ко­ор­ди­на­ты: .

Ос­но­вы­ва­ясь на этом, мы рас­смот­ре­ли 3 стан­дарт­ные за­да­чи:

Опре­де­ле­ние ко­ор­ди­нат се­ре­ди­ны от­рез­ка по ко­ор­ди­на­там кон­цов от­рез­ка и  

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Опре­де­ле­ние длины век­то­ра  с ко­ор­ди­на­та­ми .

 

Опре­де­ле­ние длины от­рез­ка  по ко­ор­ди­на­там кон­цов  и .

Те­перь при­ме­ним эти све­де­ния для ре­ше­ния задач.

 Решение задач с использованием метода координат

За­да­ча 1.

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Дан тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми . Найти ме­ди­а­ну .     

Дано: 

           ;

           

           

Найти: .

Ре­ше­ние:

Най­дем ко­ор­ди­на­ты точки  как се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС:

Най­дем длину от­рез­ка :

.

Ответ: .

За­да­ча 2.

Вер­ши­на  па­рал­ле­ло­грам­ма  лежит на по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси , вер­ши­на  имеет ко­ор­ди­на­ты . Найти ко­ор­ди­на­ты точки  сто­ро­ну  диа­го­наль .

Ре­ше­ние:

По­стро­им дан­ный па­рал­ле­ло­грамм в пря­мо­уголь­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат (рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Так как , то ко­ор­ди­на­ты точки  . Пусть ко­ор­ди­на­ты точки .

Так как  па­рал­ле­ло­грамм, то ;

Ко­ор­ди­на­ты равны, сле­до­ва­тель­но,

Итак, ;

 так как век­тор  имеет те же ко­ор­ди­на­ты, что и точка .

 так как ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки 

Ответ: 

За­да­ча 3.

Найти пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка, если из­вест­ны ко­ор­ди­на­ты его вер­шин (рис. 5).

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Дано:  

            

            ;

 .

Найти: пе­ри­метр .

Ре­ше­ние:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой вы­чис­ле­ния рас­сто­я­ния между точ­ка­ми.

Най­дем длину :

Най­дем длину :

Най­дем длину :

Най­дем пе­ри­метр:

Ответ: 

 

 Заключение

Итак, мы рас­смот­ре­ли три про­стей­шие опор­ные за­да­чи и при­ме­ни­ли их для ре­ше­ния кон­крет­ных при­ме­ров.

Мы сде­ла­ли обзор све­де­ний о ко­ор­ди­на­тах, о про­стей­ших за­да­чах и при­ме­ни­ли эти све­де­ния для ре­ше­ния кон­крет­ных гео­мет­ри­че­ских задач

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/prosteyshie-zadachi-v-koordinatah

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/primenenie-metoda-koordinat-v-reshenii-prosteyshih-zadach

http://www.youtube.com/watch?v=n5MXleghUhQ

http://www.youtube.com/watch?v=mwfriFJNFkM

http://www.youtube.com/watch?v=sdpkQaLqbvg

http://kafedra1428.narod.ru/p3.ppt

http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/11/13/prosteyshie_zadachi_v_koordinatakh.ppt

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/13-test-po-geometrii-9-klass-tema-prostejshie-zadachi-v-koordinatakh-variant-2.html

http://gdz-matem.ru/9class/29-102-prosteyshie-zadachi-v-koordinatah.html

http://v.900igr.net/zip/c8e1ee9b0317ce86bfdfd1598c885b5c.zip

Файлы