11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.

Комментарии преподавателя

 1. Решение неравенства методом интервалов, пояснение метода

Из­ло­жим метод ин­тер­ва­лов на при­ме­ре ре­ше­ния кон­крет­но­го нера­вен­ства:

Ре­шить дан­ное нера­вен­ство озна­ча­ет найти все х, при ко­то­рых нера­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся.

Дан­ный метод за­клю­ча­ет­ся в ом, что мы вво­дим функ­цию, сто­я­щую в левой части, когда спра­ва ноль.

Сле­ду­ет изу­чить дан­ную функ­цию, ее свой­ства и ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства, после этого вер­нуть­ся к ре­ше­нию нера­вен­ства.

Вве­ден­ная функ­ция у непре­рыв­на в своей ОДЗ, ука­жем ОДЗ:

Най­дем корни:

Вы­де­лим ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства. Мы нашли корни функ­ции и точки раз­ры­ва об­ла­сти опре­де­ле­ния – корни зна­ме­на­те­ля. Функ­ция может из­ме­нить свой знак толь­ко при пе­ре­хо­де через ко­рень чис­ли­те­ля или ко­рень зна­ме­на­те­ля. Важно от­ме­тить, что внут­ри каж­до­го ин­тер­ва­ла функ­ция со­хра­ня­ет знак.

Интервалы знакопостоянства функции

Рис. 1. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции

Чтобы опре­де­лить знак функ­ции на каж­дом ин­тер­ва­ле, необ­хо­ди­мо взять любую точку, при­над­ле­жа­щую ин­тер­ва­лу, под­ста­вить ее в функ­цию и опре­де­лить ее знак. На­при­мер:

На ин­тер­ва­ле  функ­ция имеет знак плюс.

На ин­тер­ва­ле  функ­ция имеет знак минус.

В этом пре­иму­ще­ство ме­то­да ин­тер­ва­лов: мы опре­де­ля­ем знак в един­ствен­ной проб­ной точке и за­клю­ча­ем, что функ­ция будет иметь такой же знак на всем вы­бран­ном ин­тер­ва­ле.

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что функ­ция не все­гда ме­ня­ет знак при пе­ре­хо­де на со­сед­ний ин­тер­вал.

Те­перь мы можем вер­нуть­ся к нера­вен­ству и по­лу­чить ответ. Нас ин­те­ре­су­ют зна­че­ния функ­ции, мень­шие либо рав­ные нулю. От­сю­да ответ:

При ре­ше­нии нера­венств ме­то­дом ин­тер­ва­лов неслож­но по­лу­чить ре­ше­ние такой за­да­чи, как по­стро­е­ние эс­ки­за гра­фи­ка функ­ции.

 

 2. Построение эскиза графика функции, методика и основные приемы 

При­мер 1 – по­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции:

1. Вы­де­лим ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства и опре­де­лим на каж­дом знак функ­ции (ри­су­нок 1)

2. По­стро­им гра­фик в окрест­но­сти каж­до­го корня. На­пом­ним, что корни дан­ной функ­ции  и :

График в окрестностях корней

Рис. 2. Гра­фик в окрест­но­стях кор­ней

По­сколь­ку в точке  знак функ­ции ме­ня­ет­ся с плюса на минус, то кри­вая сна­ча­ла на­хо­дит­ся над осью, потом про­хо­дит через ноль и далее рас­по­ло­же­на под осью х. В точке  на­о­бо­рот.

3. По­стро­им гра­фик в окрест­но­сти каж­до­го раз­ры­ва ОДЗ. На­пом­ним, что корни зна­ме­на­те­ля дан­ной функ­ции  и :

График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ

Рис. 3. Гра­фик функ­ции в окрест­но­стях точек раз­ры­ва ОДЗ

Когда  или  , зна­ме­на­тель дроби прак­ти­че­ски равен нулю, зна­чит, когда зна­че­ние ар­гу­мен­та стре­мит­ся к этим чис­лам, зна­че­ние дроби стре­мит­ся к бес­ко­неч­но­сти. В дан­ном слу­чае, когда ар­гу­мент под­хо­дит к трой­ке слева, функ­ция по­ло­жи­тель­на и стре­мит­ся к плюс бес­ко­неч­но­сти, спра­ва функ­ция от­ри­ца­тель­на и вы­хо­дит из минус бес­ко­неч­но­сти. Около чет­вер­ки, на­о­бо­рот, слева функ­ция стре­мит­ся к минус бес­ко­неч­но­сти, а спра­ва вы­хо­дит из плюс бес­ко­неч­но­сти.

Со­глас­но по­стро­ен­но­му эс­ки­зу, мы можем в неко­то­рых про­ме­жут­ках уга­дать ха­рак­тер по­ве­де­ния функ­ции (рис. 4).

Эскиз графика к примеру 1

Рис. 4. Эскиз гра­фи­ка к при­ме­ру 1

 

 3.  Решение примера

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щую важ­ную за­да­чу – по­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции в окрест­но­стях бес­ко­неч­но уда­лен­ных точек, т. е. когда ар­гу­мент стре­мит­ся к плюс или минус бес­ко­неч­но­сти (рис. 5). По­сто­ян­ны­ми сла­га­е­мы­ми при этом можно пре­не­бречь. Имеем:

Ино­гда можно встре­тить такую за­пись дан­но­го факта:

Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек

Рис. 5. Эскиз гра­фи­ка функ­ции в окрест­но­стях бес­ко­неч­но уда­лен­ных точек

Мы по­лу­чи­ли при­бли­зи­тель­ный ха­рак­тер по­ве­де­ния функ­ции на всей ее об­ла­сти опре­де­ле­ния, далее нужно уточ­нять по­стро­е­ния с при­ме­не­ни­ем про­из­вод­ной.

Сле­ду­ю­щий при­мер предо­сте­ре­жет нас от ти­по­вых оши­бок, в част­но­сти, от по­те­ри изо­ли­ро­ван­но­го ре­ше­ния.

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ство:

ОДЗ: 

Корни: 

Вы­де­ля­ем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства и опре­де­ля­ем знаки функ­ции на вы­бран­ных ин­тер­ва­лах:

Интервалы знакопостоянства к примеру 2

Рис. 6. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства к при­ме­ру 2

От­ме­тим, что в дан­ном слу­чае один из кор­ней имеет чет­ную сте­пень, а имен­но , по­это­му, про­хо­дя через ноль, функ­ция не ме­ня­ет знак.

Ответ: 

Те­перь по­стро­им эскиз гра­фи­ка функ­ции по общей ме­то­ди­ке. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства уже опре­де­ле­ны (ри­су­нок 8). те­перь по­стро­им гра­фик в окрест­но­стях кор­ней и точек раз­ры­ва ОДЗ:

График функции в окрестностях корней и точек разрыва

Рис. 7. Гра­фик функ­ции в окрест­но­стях кор­ней и точек раз­ры­ва

Рас­смот­рим по­ве­де­ние функ­ции в окрест­но­стях бес­ко­неч­но уда­лен­ных точек.

Эскиз к примеру 2

Рис. 8. Эскиз к при­ме­ру 2

 4.   Решение иррационального неравенства методом интервалов

Метод ин­тер­ва­лов при­ме­ним для ре­ше­ния самых раз­но­об­раз­ных нера­венств, в том числе ир­ра­ци­о­наль­ных.

При­мер 3 – ре­шить нера­вен­ство:

Пе­ре­но­сим х в левую часть и рас­смат­ри­ва­ем ее как функ­цию:

ОДЗ: 

Корни: 

В дан­ном слу­чае ко­рень можно легко уга­дать. Слева стоит убы­ва­ю­щая функ­ция, спра­ва – воз­рас­та­ю­щая, зна­чит, если урав­не­ние имеет ко­рень, то он един­ствен­ный, таким об­ра­зом, имеем ко­рень 

По­ка­жем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства и опре­де­лим знаки функ­ции на каж­дом ин­тер­ва­ле:

Интервалы знакопостоянства к примеру 3

Рис. 10. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства к при­ме­ру 3

Для опре­де­ле­ния зна­ков берем проб­ные точки:

Здесь важно про­ве­рить зна­че­ния в гра­нич­ных точ­ках. Левая гра­ни­ца ин­тер­ва­ла  – это ко­рень урав­не­ния, в дан­ной точке функ­ция равна нулю, зна­чит, ее не нужно вклю­чать в ответ.

Про­ве­рим пра­вую гра­ни­цу:

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли ответ: 

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние раз­лич­ных нера­венств ме­то­дом ин­тер­ва­лов, ре­ши­ли неко­то­рые ти­по­вые за­да­чи и по­ка­за­ли ти­по­вые ошиб­ки.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/metod-intervalov-2

http://www.youtube.com/watch?v=z1aGGjV__U0

http://www.youtube.com/watch?v=PFEmYDbI1js

http://www.berdov.com/docs/inequality/metod_intervalov_elementarnie_neravenstva/

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы