11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.

Неравенства и уравнения с модулем.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Неравенства и уравнения с модулем.

Комментарии преподавателя

1. Определения модуля

Существует несколько определений модуля. Эти определения должны быть равноценны, эквивалентны, т. е. из первого определения следует второе, а из второго первое.

Определение:

Модулем числа t называется само число t, если оно больше нуля, модулем нуля является ноль, и если под модулем отрицательное число, то модуль t равен минус t.

Обычно в задачах под модулем стоит целое выражение, зависящее от х, тогда:

Из вешесказанного следует простое правило: если под модулем стоит положительное число, то модуль можно отбросить. Если же под модулем стоит отрицательное число, то модуль следует отбросить, но поставить знак минус перед всем подмодульным выражением.

Определение:

Модуль числа t – это расстояние от точки t до точки 0.

В частности,

Например:

Рис. 1. Модули чисел 3 и -3

2. Решение простейших примеров

Из определения модуля следует основной прием решения задач с модулем, а именно, освободиться от модуля на основе его определения. Поясним на конкретном примере.

Пример 1 – построить график функции:

Согласно определению модуля, рассматриваем два случая:

Рис. 2. График функции

Пример 2 – решить неравенства:

a)

Решим, опираясь на второе определение:

Проиллюстрируем:

Рис. 3. Решение примера 2.a

Любая точка, не принадлежащая выбранному отрезку, не будет являться решением, так как расстояние от нее до точки 3 будет больше заданного расстояния.

Ответ:

б)

Проиллюстрируем:

Рис. 4. Решение примера 2.б

Любая точка, не принадлежащая выбранным промежуткам, не будет являться решением, так как расстояние от нее до точки 3 будет меньше заданного расстояния.

Ответ:

Рассмотрим неравенства вида:

Данное неравенство можно решать двумя способами.

Способ 1 (по определению):

Способ 2:

Строгое доказательство данного способа опустим, приведем и прокомментируем его.

Поясним на графике (рисунок 5)

Рис. 5. Пояснительный график

Итак, на рисунке 12.5 изображен график функции . Решения неравенства заштрихованы зеленым цветом. Если функция g(x) задана как константа, то нас удовлетворит промежуток значений (-g; g) – показано красным.

3. Схемы решения более сложных неравенств с уединенным модулем

Рассмотрим следующий тип неравенств с уединенным модулем:

Аналогично предыдущему неравенству, покажем два способа решения.

Способ 1:

Способ 2:

Доказательство данного способа можно получить, продолжив преобразовывать совокупность, полученную в первом способе. Мы проиллюстрируем данный способ решения:

Рис. 6. Пояснительный график

Итак, на рисунке 6 изображен график функции . Решения неравенства заштрихованы зеленым цветом. Если функция g(x) задана как константа, то нас удовлетворят промежутки значений – показано красным.

4. Решение примеров

Пример 3 – решить неравенство:

Решаем неравенство вторым способом:

Проиллюстрируем решение системы:

Рис. 7 Решение системы в примере 3

Ответ:

Пример 4 – решить неравенство:

Решаем вторым способом:

Проиллюстрируем решение совокупности:

Рис. 8. Решение совокупности в примере 4

Ответ:

5. Решение неравенств с модулем методом интервалов

Неравенства с модулем можно решать методом интервалов.

Пример 5 – решить неравенства:

а)

б)

Согласно стандартному алгоритму, рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль:

Исследуем функцию. ОДЗ:

Чтобы найти корни, решим уравнение:

Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции:

Рис. 9. Интервалы знакопостоянства функции

Ответ: а); б) ;

6. Решение неравенства с двумя модулями

Рассмотрим неравенство, в котором сравниваются два модуля.

Пример 6 – решить неравенство:

Напомним, что если обе части неравенства положительны, мы имеем право возвести их в квадрат, при этом равносильность не теряется. В данном случае каждый модуль неотрицателен, имеем право возвести в квадрат, при этом модули уничтожатся, согласно свойству ():

Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:

Вынесем из скобок константные множители:

Разделим обе части неравенства на минус три, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

Получено простейшее квадратное неравенство. Парабола, ветви направлены вверх, интересующие нас значения находятся в интервале между корнями.

Ответ:

Итак, мы рассмотрели различные типовые неравенства с модулем, привели некоторые схемы решения и решили примеры.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/neravenstva-s-modulyami

http://www.youtube.com/watch?v=quY1vqZXJyE

http://www.youtube.com/watch?v=KIKIrjAmbN8

http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/11-reshenie-neravenstv-s-modulem/

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-irrazionalnie-neravenstva.pptx

http://yukhym.com/ru/matematika/reshenie-neravenstv-s-modulyami.html