11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.

Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую ....

Комментарии преподавателя

 Определение 1. Понятия неравенства

Рас­смот­рим ре­ше­ние в общем виде:  (1).

 на­зы­ва­ет­ся част­ным ре­ше­ни­ем, если .

Мно­же­ство всех част­ных ре­ше­ний есть общее ре­ше­ние (или про­сто ре­ше­ние) нера­вен­ства. Ре­шить нера­вен­ство – зна­чит найти его общее ре­ше­ние.

Рас­смот­рим от­ли­чия нера­венств от урав­не­ний:

1.      Имеет бес­ко­неч­ное мно­же­ство ре­ше­ний (как пра­ви­ло).

2.      Невоз­мож­на про­вер­ка под­ста­нов­кой в ис­ход­ное нера­вен­ство.

По­это­му нера­вен­ства можно ре­шать толь­ко рав­но­силь­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми:

  

Ре­ше­ние нера­вен­ства за­клю­ча­ет­ся в за­мене ис­ход­но­го нера­вен­ства более про­стым, но рав­но­силь­ным нера­вен­ством.

Опре­де­ле­ние 1.

Нера­вен­ства  (1) и  (2) на­зы­ва­ют­ся рав­но­силь­ны­ми, если их ре­ше­ния сов­па­да­ют. 

 Пример 1

При­мер 1.

1. 

2. 

Мно­же­ства ре­ше­ний сов­па­да­ют. Зна­чит:

 Определение 2. Равносильность неравенств

Опре­де­ле­ние 2. Если ре­ше­ние нера­вен­ства  (1) со­дер­жит­ся в ре­ше­нии нера­вен­ства  (2), то нера­вен­ство (2) есть след­ствие нера­вен­ства (1).

.

Рас­смот­рим неко­то­рые из рав­но­силь­ных пре­об­ра­зо­ва­ний:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Рас­смот­рим при­ме­ры, в ко­то­рых можно до­пу­стить ти­по­вые ошиб­ки:

 Пример 2

1. 

«Ре­ше­ние»:

«Ответ»:  ( – част­ные ре­ше­ния)

Про­бле­ма в умно­же­нии на Он мог быть и от­ри­ца­тель­ным, и по­ло­жи­тель­ным. Надо ме­нять знак.

Пра­ви­ло: в нера­вен­ствах нель­зя умно­жать на , если его знак не из­ве­стен.

2. 

Ре­ше­ние:

Ответ: (верно)

Пра­виль­ное ре­ше­ние:

3.       

1. 

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 1

2. 

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 2

Ответ: 

Мы рас­смот­ре­ли важ­ное по­ня­тие рав­но­силь­но­сти нера­венств. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/reshenie-neravenstv-s-odnoy-peremennoy-ravnosilnost-neravenstv?seconds=0&chapter_id=824

http://www.youtube.com/watch?v=SDSfe5m_2AE

http://www.youtube.com/watch?v=FLc67QgGv7M

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-ravnosilnost-neravenstv.pptx

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

Файлы