11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

Для неотрицательных значений переменной, содержащейся под знаком корня....

Комментарии преподавателя

 Повторение теории

На­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние.

Сте­пе­нью неот­ри­ца­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным по­ло­жи­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число .

Сте­пе­нью по­ло­жи­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число .

Для  вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство:

.

На­при­мер: 

На­пом­ним свой­ства сте­пе­ней с ра­ци­о­наль­ны­ми по­ка­за­те­ля­ми.

Здесь , s и r – ра­ци­о­наль­ные числа.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

 Задачи на вычисление и упрощение выражений

При­мер 1 – вы­чис­лить:

.

При­мер 2 – со­кра­тить дробь:

.

Чтобы со­кра­тить за­дан­ную дробь, нужно раз­ло­жить зна­ме­на­тель на мно­жи­те­ли:

.

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чи­ли дробь:          

.

Дан­ный ответ спра­вед­лив при усло­вии, что , иначе дробь не имеет смыс­ла.

Сде­ла­ем неко­то­рые за­ме­ча­ния:

  • При  за­ме­на  до­пу­сти­ма,  (по опре­де­ле­нию сте­пе­ни с по­ло­жи­тель­ным ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем).

При­мер 3 – со­кра­тить дробь:

.

ОДЗ:

.

В дан­ном слу­чае для раз­ло­же­ния нужно при­ме­нить дру­гую фор­му­лу со­кра­щен­но­го умно­же­ния и раз­ло­жить чис­ли­тель:

.

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­чи­ли дробь:

.

Ответ спра­вед­лив в том слу­чае, если m и n од­но­вре­мен­но не равны нулю, дан­ный факт часто за­пи­сы­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

.

 Решение уравнений

При­мер 4 – упро­стить вы­ра­же­ние:

.

Неслож­но за­ме­тить, что про­из­ве­де­ние вто­рой и тре­тьей ско­бок можно свер­нуть по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов:

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­чи­ли про­из­ве­де­ние двух ско­бок, ко­то­рое также можно свер­нуть по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов:

.

От­ме­тим, что в дан­ном слу­чае зна­че­ния а огра­ни­че­ны:  (по опре­де­ле­нию сте­пе­ни с ра­ци­о­наль­ным по­ло­жи­тель­ным по­ка­за­те­лем).

При­мер 5 – ре­шить урав­не­ние:

.

Скоб­ка – это кон­крет­ное число, не за­ви­ся­щее от х, имеем право на нее со­кра­тить и по­лу­чить , но толь­ко в том слу­чае, если вы­ра­же­ние в скоб­ках не равно нулю. Про­ве­рим:

.

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чи­ли скоб­ку:

.

При­мер 6 – ре­шить урав­не­ние:

а) .

Воз­во­дим урав­не­ние в куб:

.

б) 

Ответ: .

в) 

Ответ: .

При­мер 7 – ре­шить урав­не­ние:

.

При ре­ше­нии дан­но­го урав­не­ния сле­ду­ет не за­быть про об­ласть опре­де­ле­ния и вве­сти за­ме­ну пе­ре­мен­ных:

.

После вве­де­ния за­ме­ны по­лу­чи­ли урав­не­ние:

.

Ре­ша­ем по­лу­чен­ное квад­рат­ное урав­не­ние любым удоб­ным спо­со­бом, на­при­мер по тео­ре­ме Виета:

.

Пер­вый ко­рень не вхо­дит в ОДЗ, оста­ет­ся ко­рень , от­сю­да на­хо­дим ответ:

.

При­мер 8 – ре­шить урав­не­ние:

а) 

Ответ: .

б) 

.

Ответ: .

в) 

.

Ответ: .

Итак, мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные ти­по­вые за­да­чи со сте­пе­ня­ми и ра­ди­ка­ла­ми, на сле­ду­ю­щем уроке мы пе­рей­дем к изу­че­нию сте­пен­ных функ­ций.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/zadachi-so-stepenyami-i-radikalami

http://www.youtube.com/watch?v=UoCzJKv0IdI

http://www.youtube.com/watch?v=O-BgSajtcGs

http://www.youtube.com/watch?v=BvMYQ5eCBGg

http://ppt-online.org/download/9255

http://www.tutoronline.ru/blog/obobshhenie-ponjatija-stepeni-i-reshenie-primerov-so-stepenjami

http://mathematics-tests.com/11-klass-uroki-presentatsii/algebra-11-klass-urok-probrazovanie-vyrazheniy-soderzhashih-radikal

 

Файлы