11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.
Комментарии преподавателя
1. Повторение теоретических фактов
Ключом к решению всех типов задач, рассматриваемых в данной теме, является определение арифметического корня и его свойства.
Еще раз напомним основное определение.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например: 
, т. к. 
; 
, т.к. 
,
2. Решение примеров на упрощение и вычисление
Рассмотрим более сложные примеры.
Пример 1 – упростить выражение:
Обоснование:
Вспомним основные свойства арифметических корней:
, при 
(теорема 1)
, при 
(теорема 2)
, при 
(теорема 3)
, при 
(теорема 4)
при 
(теорема 5)
Пример 2 – вычислить:
Чтобы выполнить вычисление, нужно преобразовать числитель, для этого во второй скобке представим составные числа в виде простых:
Получаем:
Разложим скобку на множители способом группировки:
После преобразований получаем дробь:
Имеем право сократить:
Несложно заметить в полученном выражении формулу разности квадратов, свернем ее:
Пример 3 – вычислить:
Сначала вычислим внутренний корень:
После преобразования получили выражение:
Пример 4 – упростить выражение:
Важно заметить в подкоренном выражении полный квадрат:
Получаем:
Комментарий: для выделения полного квадрата имеем право представить а как 
, т. к. в заданном выражении присутствует 
, значит, а принимает неотрицательные значения.
Пример 5 – упростить выражение:
Выделяем полный квадрат:
Получаем:
Комментарий: число 
отрицательное, имеем право раскрыть модуль.
3. Уравнения с радикалами, типы, примеры решения
Важно уметь решать уравнения с радикалами, рассмотрим первый тип таких уравнений.
Чтобы не потерять при решении корни и не приобрести новых корней, следует наложить некоторые ограничения. В первую очередь ОДЗ: 
. Далее:
Заметим, что при выполнении второго условия ОДЗ соблюдается автоматически, поэтому его отдельно можно не указывать.
Мы получили смешанную систему, в ней присутствуют уравнение и неравенство. Отметим, что неравенство решать не обязательно, достаточно решить уравнение и полученные корни подставить в неравенство – выполнить проверку, т. к. очень часто неравенство очень сложно или невозможно решить.
Второй тип уравнений:
Укажем область определения. ОДЗ:
Чтобы решить заданное уравнение, нужно возвести его в квадрат, получим:
Чтобы упростить нахождение области определения, можно оставить только одно из двух неравенств, т. к. два числа равны друг другу и если одно из них больше нуля, то и второе тоже. Получаем системы для решения уравнения:
или
Аналогично первому типу получена смешанная система, можем решить уравнение и выполнить проверку, не решая полностью неравенство.
Рассмотрим конкретные примеры уравнений.
Пример 6:
Данное уравнение эквивалентно системе:
Решаем полученную систему:
Ответ: 
Данный пример можно решать другим способом. Рассмотрим две функции – выражения стоящие в правой и левой части заданного уравнения:
Первая функция монотонно убывает (т. к. под корнем стоит линейная убывающая функция, ее угловой коэффициент меньше нуля), вторая монотонно возрастает.
Проиллюстрируем сказанное:
Рис. 1. Графики функций 
и 
Поскольку одна из функций монотонно убывает, а вторая монотонно возрастает, то уравнение имеет единственное решение, если решение вообще существует. Таким образом, если мы найдем один корень заданного уравнения, это будет обоснованный ответ к задаче.
Корень существует, по рисунку мы видим, что это , чтобы убедиться в этом, подставим найденный корень в исходное уравнение. Получаем верное числовое равенство.
Пример 7:
Имеем эквивалентную систему:
Решаем полученную систему:
Ответ: 
Пример 8:
В данном случае удобно выполнить замену переменных.
Обозначим 
, возведем в квадрат, получаем:
Получаем уравнение:
Не теряем при этом ограничение: 
Решаем полученное квадратное уравнение любым способом, находим корни:
или 
Лишний корень отбрасываем, остается
Таким образом, 
Итак, мы рассмотрели решение задач и уравнений, содержащих радикалы.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/zadachi-i-uravneniya-s-radikalami
http://www.youtube.com/watch?v=LxXZhj5oO9k
http://www.youtube.com/watch?v=XKRdhU3UXsY
http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/614-samostoyatelnaya-rabota-s-6-preobrazovanie-vyrazhenij-soderzhashchikh-radikaly-11-klass.html