11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

Преобразование выражений, содержащих степени.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Преобразование выражений, содержащих степени.

Комментарии преподавателя

Повторение теории

Напомним основное определение.

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число .

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем называется число .

Для выполняется равенство:

.

Например:

Напомним свойства степеней с рациональными показателями.

Здесь , , s и r – рациональные числа.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Задачи на вычисление и упрощение выражений

Пример 1 – вычислить:

.

Пример 2 – сократить дробь:

.

Чтобы сократить заданную дробь, нужно разложить знаменатель на множители:

.

В результате преобразований получили дробь:

.

Данный ответ справедлив при условии, что , иначе дробь не имеет смысла.

Сделаем некоторые замечания:

При замена допустима, (по определению степени с положительным рациональным показателем).

Пример 3 – сократить дробь:

.

ОДЗ:

.

В данном случае для разложения нужно применить другую формулу сокращенного умножения и разложить числитель:

.

В результате преобразования получили дробь:

.

Ответ справедлив в том случае, если m и n одновременно не равны нулю, данный факт часто записывают следующим образом:

.

Решение уравнений

Пример 4 – упростить выражение:

.

Несложно заметить, что произведение второй и третьей скобок можно свернуть по формуле разности квадратов:

В результате преобразования получили произведение двух скобок, которое также можно свернуть по формуле разности квадратов:

.

Отметим, что в данном случае значения а ограничены: (по определению степени с рациональным положительным показателем).

Пример 5 – решить уравнение:

.

Скобка – это конкретное число, не зависящее от х, имеем право на нее сократить и получить , но только в том случае, если выражение в скобках не равно нулю. Проверим: