11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

Комментарии преподавателя

 1. Определение и свойства степени с натуральным показателем

Чтобы обоб­щить по­ня­тие о по­ка­за­те­ле сте­пе­ни, вспом­ним, что такое сте­пень.

 – сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем, здесь а – ос­но­ва­ние сте­пе­ни, n – по­ка­за­тель сте­пе­ни;

                 n штук

Кроме того, на­пом­ним, что:

 и ;

Вы­ра­же­ние  не су­ще­ству­ет.

Ос­нов­ные свой­ства сте­пе­ней:

1.      ;

Для того чтобы умно­жить сте­пе­ни с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем, нужно сло­жить их по­ка­за­те­ли, ос­но­ва­ние оста­вить тем же самым.

2.      ;

Можно раз­де­лить сте­пе­ни с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем, для этого их по­ка­за­те­ли нужно вы­честь, а ос­но­ва­ние оста­вить тем же самым;

3.      ;

Для того чтобы сте­пень воз­ве­сти в сте­пень, нужно пе­ре­мно­жить по­ка­за­те­ли сте­пе­ни, ос­но­ва­ние оста­вить без из­ме­не­ний.

4.      ;

При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вым по­ка­за­те­лем, нужно пе­ре­мно­жить ос­но­ва­ния и воз­ве­сти ре­зуль­тат в ис­ход­ную сте­пень;

5.      ;

 2. Основные числовые множества, числовой ряд

Чтобы раз­де­лить сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, нужно раз­де­лить ос­но­ва­ния и воз­ве­сти ре­зуль­тат в ис­ход­ную сте­пень;

На­пом­ним ос­нов­ные чис­ло­вые мно­же­ства:

 – на­ту­раль­ные числа;

 – целые числа;

 – ра­ци­о­наль­ные числа;

Числа, ко­то­рые не могут быть пред­став­ле­ны в виде дроби , на­зва­ли ир­ра­ци­о­наль­ны­ми, на­при­мер . Если к мно­же­ству ра­ци­о­наль­ных чисел при­ба­вить мно­же­ство ир­ра­ци­о­наль­ных чисел, по­лу­чим мно­же­ство дей­стви­тель­ных чисел

 – дей­стви­тель­ные числа;

На­пом­ним связь между мно­же­ством дей­стви­тель­ных чисел и чис­ло­вой осью. Между мно­же­ством дей­стви­тель­ных чисел и мно­же­ством точек чис­ло­вой оси су­ще­ству­ет вза­и­мо­од­но­знач­ное со­от­вет­ствие. То есть, если мы го­во­рим, что есть число , то ему на оси со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка. Точно так же каж­дой точке со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное дей­стви­тель­ное число.

Рис. 1. Чис­ло­вая ось

 3. Степень с положительным рациональным показателем, примеры

Опре­де­ле­ние:

Сте­пе­нью неот­ри­ца­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным по­ло­жи­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число 

На­при­мер: 

 

При­мер 1 – вы­чис­лить:

 

При­мер 2 – вы­чис­лить:

 

При­мер 3 – вы­чис­лить:

 

При­мер 4 – пред­ста­вить в виде сте­пе­ни:

 

При­мер 5 – пред­ста­вить в виде сте­пе­ни:

 

При­мер 6 – пред­ста­вить в виде сте­пе­ни:

 

При­мер 7 – пред­ста­вить в виде сте­пе­ни:

 4. Степень с отрицательным рациональным показателем, примеры

Опре­де­ле­ние:

Сте­пе­нью по­ло­жи­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число .

На­при­мер: 

При­мер 8 – вы­чис­лить:

При­мер 9 – вы­чис­лить:

При­мер 10 – вы­чис­лить:

 5. Типовые ошибки и важные факты

Об­ра­тим вни­ма­ние на ти­по­вую ошиб­ку. Вы­чис­лить:

Ответ: не су­ще­ству­ет

По­яс­не­ние:

 – вы­ра­же­ние 1;

Дан­ное ра­вен­ство невер­но, так как наше опре­де­ле­ние не долж­но про­ти­во­ре­чить опре­де­ле­ни­ям, дан­ным ранее, на­при­мер ос­нов­но­му свой­ству дроби:

 – вы­ра­же­ние 2;

Из вы­ра­же­ний 1 и 2 по­лу­чи­ли , невер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство.

За­пом­ним:

 опре­де­ле­но толь­ко при .

 6. Типовые задачи на область определения функции

При­мер 11 – по­стро­ить гра­фи­ки функ­ций:

Гра­фик пер­вой функ­ции нам из­ве­стен, он про­хо­дит через три фик­си­ро­ван­ные точки: (0;0), (1;1) и (-1;-1), об­ласть опре­де­ле­ния .

Гра­фик вто­рой функ­ции по опре­де­ле­нию со­от­вет­ству­ет гра­фи­ку функ­ции  при .

От­ли­чие за­дан­ных функ­ций на­гляд­но про­де­мон­стри­ро­ва­но на гра­фи­ках 2 и 3.

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

При­мер 12 – найти об­ласть опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния:

По опре­де­ле­нию по­ло­жи­тель­но­го ра­ци­о­наль­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни:

По опре­де­ле­нию от­ри­ца­тель­но­го ра­ци­о­наль­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни:

По опре­де­ле­нию по­ло­жи­тель­но­го ра­ци­о­наль­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни:

По опре­де­ле­нию от­ри­ца­тель­но­го ра­ци­о­наль­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни:

Итак, мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие сте­пе­ни с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем, дали важ­ные опре­де­ле­ния. 

 Часть 2. Рациональные числа, степень с рациональным показателем

На­пом­ним, что такое мно­же­ство ра­ци­о­наль­ных чисел.

 – ра­ци­о­наль­ные числа.

Каж­дая дробь может быть пред­став­ле­на в де­ся­тич­ном виде, на­при­мер :

 

Итак, ра­ци­о­наль­ное число может быть пред­став­ле­но как бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь с пе­ри­о­дом.

На­пом­ним опре­де­ле­ние: для  вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство:

На­при­мер:  (нужно пе­ре­ве­сти бес­ко­неч­ную пе­ри­о­ди­че­скую дробь в обык­но­вен­ную).

 Свойства степени с рациональным показателем, доказательства

Рас­смот­рим свой­ства сте­пе­ни с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем, они ана­ло­гич­ны свой­ствам сте­пе­ни с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем, здесь s и r – ра­ци­о­наль­ные числа:

1. .

Для того чтобы умно­жить сте­пе­ни с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем, нужно сло­жить их по­ка­за­те­ли, ос­но­ва­ние оста­вить без из­ме­не­ний.

2. .

Можно раз­де­лить сте­пе­ни с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем, для этого их по­ка­за­те­ли нужно вы­честь, а ос­но­ва­ние оста­вить без из­ме­не­ний.

3. .

Для того чтобы сте­пень воз­ве­сти в сте­пень, нужно пе­ре­мно­жить по­ка­за­те­ли сте­пе­ни, ос­но­ва­ние оста­вить без из­ме­не­ний.

4. .

При умно­же­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вым по­ка­за­те­лем, нужно пе­ре­мно­жить ос­но­ва­ния и воз­ве­сти ре­зуль­тат в ис­ход­ную сте­пень.

5. .

Чтобы раз­де­лить сте­пе­ни с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми, нужно раз­де­лить ос­но­ва­ния и воз­ве­сти ре­зуль­тат в ис­ход­ную сте­пень.

Вы­ше­пе­ре­чис­лен­ные свой­ства спра­вед­ли­вы для любых ра­ци­о­наль­ных по­ка­за­те­лей. До­ка­жем пер­вое свой­ство:

До­ка­за­тель­ство:

s и r – ра­ци­о­наль­ные числа,  

.

При­ве­дем корни к оди­на­ко­во­му по­ка­за­те­лю:

.

Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние со­глас­но свой­ствам корня:

.

По опре­де­ле­нию сте­пе­ни с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем:

.

Со­глас­но свой­ствам сте­пе­ни:

.

Итак, по­лу­чи­ли:

.

До­ка­жем тре­тье свой­ство:

До­ка­за­тель­ство:

s и r – ра­ци­о­наль­ные числа, .

Схема до­ка­за­тель­ства стан­дарт­ная: от сте­пе­ней пе­рей­ти к кор­ням, вы­пол­нить пре­об­ра­зо­ва­ния с кор­ня­ми и вер­нуть­ся к сте­пе­ням.

Осталь­ные свой­ства до­ка­зы­ва­ют­ся ана­ло­гич­но.

 Решение типовых задач

Пе­рей­дем к ре­ше­нию ти­по­вых задач.

При­мер 1 – имеет ли смысл вы­ра­же­ние:

а) 

Ответ: нет.

б) 

Ответ: да ().

в) 

Ответ: да, т. к. -4 – целое число ().

г) 

Ответ: нет.

При­мер 2 – вы­чис­лить:

Рас­смот­рим сла­га­е­мые от­дель­но:

.

По­лу­ча­ем:

.

При­мер 3 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Упро­стим зна­ме­на­тель:

.

По­лу­ча­ем:

.

От­ме­тим, что обя­за­тель­но в дан­ном слу­чае .

При­мер 4 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Воз­во­дим в квад­рат дву­член:

.

По­лу­чи­ли вы­ра­же­ние:

.

В дан­ной за­да­че могут быть по­став­ле­ны до­пол­ни­тель­ные во­про­сы, на­при­мер, до­пу­сти­мы ли от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния с. Ответ: нет, т. к. с имеет ра­ци­о­наль­ный по­ка­за­тель сте­пе­ни и по опре­де­ле­нию яв­ля­ет­ся неот­ри­ца­тель­ным.

При­мер 5 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Ком­мен­та­рий: огра­ни­че­ние на х на­ло­же­но в связи с тем, что он имеет от­ри­ца­тель­ный ра­ци­о­наль­ный по­ка­за­тель сте­пе­ни.

Итак, мы рас­смот­ре­ли свой­ства сте­пе­ней с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/obobschenie-ponyatiya-o-pokazatele-stepeni-nachalnye-svedeniya

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/stepen-s-ratsionalnym-pokazatelem-prosteyshie-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=lxaxSszE22I

http://www.youtube.com/watch?v=Q-XBCtZuQ3g

http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/617-samostoyatelnaya-rabota-s-7-obobshchenie-ponyatiya-o-pokazatele-stepeni-11-klass.html

http://www.mathematics-repetition.com/tag/primer-na-svoystva-stepeni-s-naturalynm-pokazatelem

http://www.nado5.ru/e-book/stepen-s-racionalnym-pokazatelem

 

Файлы