11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.
Комментарии преподавателя
1. Определение и свойства степени с натуральным показателем
Чтобы обобщить понятие о показателе степени, вспомним, что такое степень.
– степень с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени;
n штук
Кроме того, напомним, что:
и 
;
Выражение 
не существует.
Основные свойства степеней:
1. 
;
Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.
2. 
;
Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;
3. 
;
Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.
4. 
;
При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;
5. 
;
2. Основные числовые множества, числовой ряд
Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;
Напомним основные числовые множества:
– натуральные числа;
– целые числа;
– рациональные числа;
Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби 
, назвали иррациональными, например 
. Если к множеству рациональных чисел прибавить множество иррациональных чисел, получим множество действительных чисел
– действительные числа;
Напомним связь между множеством действительных чисел и числовой осью. Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси существует взаимооднозначное соответствие. То есть, если мы говорим, что есть число , то ему на оси соответствует единственная точка. Точно так же каждой точке соответствует единственное действительное число.
Рис. 1. Числовая ось
3. Степень с положительным рациональным показателем, примеры
Определение:
Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем 
называется число 
Например: 
Пример 1 – вычислить:
Пример 2 – вычислить:
Пример 3 – вычислить:
Пример 4 – представить в виде степени:
Пример 5 – представить в виде степени:
Пример 6 – представить в виде степени:
Пример 7 – представить в виде степени:
4. Степень с отрицательным рациональным показателем, примеры
Определение:
Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем 
называется число 
.
Например: 
Пример 8 – вычислить:
Пример 9 – вычислить:
Пример 10 – вычислить:
5. Типовые ошибки и важные факты
Обратим внимание на типовую ошибку. Вычислить:
Ответ: не существует
Пояснение:
– выражение 1;
Данное равенство неверно, так как наше определение не должно противоречить определениям, данным ранее, например основному свойству дроби:
– выражение 2;
Из выражений 1 и 2 получили 
, неверное числовое равенство.
Запомним:
определено только при 
.
6. Типовые задачи на область определения функции
Пример 11 – построить графики функций:
График первой функции нам известен, он проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1) и (-1;-1), область определения 
.
График второй функции по определению соответствует графику функции 
при .
Отличие заданных функций наглядно продемонстрировано на графиках 2 и 3.
Рис. 2. График функции 
Рис. 3. График функции 
Пример 12 – найти область определения выражения:
По определению положительного рационального показателя степени:
По определению отрицательного рационального показателя степени:
По определению положительного рационального показателя степени:
По определению отрицательного рационального показателя степени:
Итак, мы рассмотрели понятие степени с рациональным показателем, дали важные определения.
Часть 2. Рациональные числа, степень с рациональным показателем
Напомним, что такое множество рациональных чисел.
– рациональные числа.
Каждая дробь может быть представлена в десятичном виде, например 
:
Итак, рациональное число может быть представлено как бесконечная десятичная дробь с периодом.
Напомним определение: для 
выполняется равенство:
Например: 
; 
; 
(нужно перевести бесконечную периодическую дробь в обыкновенную).
Свойства степени с рациональным показателем, доказательства
Рассмотрим свойства степени с рациональным показателем, они аналогичны свойствам степени с натуральным показателем, здесь s и r – рациональные числа:
1. 
.
Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить без изменений.
2. 
.
Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить без изменений.
3. 
.
Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.
4. 
.
При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень.
5. 
.
Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень.
Вышеперечисленные свойства справедливы для любых рациональных показателей. Докажем первое свойство:
Доказательство:
s и r – рациональные числа, 
, 
, 
.
Приведем корни к одинаковому показателю:
.
Преобразуем полученное выражение согласно свойствам корня:
.
По определению степени с рациональным показателем:
.
Согласно свойствам степени:
.
Итак, получили:
.
Докажем третье свойство:
Доказательство:
s и r – рациональные числа, , , .
Схема доказательства стандартная: от степеней перейти к корням, выполнить преобразования с корнями и вернуться к степеням.
Остальные свойства доказываются аналогично.
Решение типовых задач
Перейдем к решению типовых задач.
Пример 1 – имеет ли смысл выражение:
а) 
Ответ: нет.
б) 
Ответ: да (
).
в) 
Ответ: да, т. к. -4 – целое число (
).
г) 
Ответ: нет.
Пример 2 – вычислить:
Рассмотрим слагаемые отдельно:
.
Получаем:
.
Пример 3 – упростить выражение:
Упростим знаменатель:
.
Получаем:
.
Отметим, что обязательно в данном случае 
.
Пример 4 – упростить выражение:
Возводим в квадрат двучлен:
.
Получили выражение:
.
В данной задаче могут быть поставлены дополнительные вопросы, например, допустимы ли отрицательные значения с. Ответ: нет, т. к. с имеет рациональный показатель степени и по определению является неотрицательным.
Пример 5 – упростить выражение:
Комментарий: ограничение на х наложено в связи с тем, что он имеет отрицательный рациональный показатель степени.
Итак, мы рассмотрели свойства степеней с рациональным показателем.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/obobschenie-ponyatiya-o-pokazatele-stepeni-nachalnye-svedeniya
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/stepen-s-ratsionalnym-pokazatelem-prosteyshie-zadachi
http://www.youtube.com/watch?v=lxaxSszE22I
http://www.youtube.com/watch?v=Q-XBCtZuQ3g
http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/617-samostoyatelnaya-rabota-s-7-obobshchenie-ponyatiya-o-pokazatele-stepeni-11-klass.html
http://www.mathematics-repetition.com/tag/primer-na-svoystva-stepeni-s-naturalynm-pokazatelem
http://www.nado5.ru/e-book/stepen-s-racionalnym-pokazatelem