10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной к исследованию функции.
10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной к исследованию функции.
Комментарии преподавателя
Исследование функции 
и сопутствующие задачи
1. Исследование графика функции без производной
Дано: 
.
Надо исследовать эту функцию, построить график, найти промежутки монотонности, максимумы минимумы и какие задачи сопутствуют знанию об этой функции.
Сначала полностью воспользуемся той информацией, которая дает функция без производной.
1. Найдем интервалы знакопостоянства функции и построим эскиз графика функции:
1) Найдем 
.
2) Корни функции: 
, отсюда 
3) Интервалы знакопостоянства функции (см. рис.1):
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции.
Теперь знаем, что на промежутке 
и 
график находится над ось Х, на промежутке 
- под осью Х.
2. Построим график в окрестности каждого корня (см. рис.2).
Рис. 2. График функции в окрестности корня.
3. Построим график функции в окрестности каждой точки разрыва области определения. Область определения разрывается в точке 
. Если значение 
близко к точке , то значение функции стремится к 
(см. рис.3).
Рис. 3. График функции в окрестности точки разрыва.
4. Определим, как ведет график в окрестности бесконечно удаленных точек:
Запишем с помощью пределов
. Важно, что при очень больших , функция почти не отличается от единицы.
2. Исследование графика функции с помощью производной
Найдем производную, интервалы ее знакопостоянства и они будут интервалами монотонности для функции, найдем те точки, в которых производная равна нулю, и выясним, где точка максимума, где точка минимума.
Отсюда, 
. Эти точки являются внутренними точками области определения. Выясним, какой знак производной на интервалах, и какая из этих точек является точкой максимума, а какая - точкой минимума (см. рис.4).
Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.
Из рис. 4 видно, что точка 
- точка минимума, точка 
- точка максимума. Значение функции в точке равно 
. Значение функции в точке равно 4. Теперь построим график функции (см. рис.5).
Рис. 5. График функции .
Таким образом, построили график функции. Опишем его. Запишем интервалы, на которых функция монотонно убывает: 
, 
- это те интервалы, где производная отрицательна. Функция монотонно возрастает на интервалах 
и 
. - точка минимума, - точка максимума.
3. Сопутствующие задачи
Задача.
Найти число корней уравнения 
в зависимости от значений параметра.
Решение.
1. Построить график функции. График этой функции построен выше (см. рис.5).
2. Рассечь график семейством прямых 
и выписать ответ (см. рис.6).
Рис. 6. Пересечение графика функции с прямыми .
Ответ:
1) При 
- одно решение.
2) При 
- два решения.
3) При 
- три решения.
4) При 
- два решения.
5) При 
- три решения.
6) При 
- два решения.
7) При 
- одно решение.
4. Итог урока
Таким образом, решили одну из важных задач, а именно, нахождение числа решений уравнения в зависимости от параметра 
. Могут быть разные частные случаи, например, при каком будет одно решение или два решения, или три решения. Заметим, что эти частные случаи, все ответы на эти частные случаи содержатся в общем ответе.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/issledovanie-funktsii-y-x-sup-3-sup-4-247-x-1-sup-3-sup-i-soputstvuyuschie-zadachi
http://www.youtube.com/watch?v=dU0kgE-XKV0
http://www.youtube.com/watch?v=Ig81GEJE2YI
http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf
http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik
http://ege-ok.ru/2013/11/12/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika