10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной к исследованию функции.

10 класс. Алгебра. Производная. Применение производной к исследованию функции.

К особо важным точкам графика функции y=f(x) относят:...

Комментарии преподавателя

Исследование функции и построение графика

Построение графика произвольной функции может быть как отдельной задачей, так и вспомогательной - например, при решении уравнений графическим способом, или при решении задач с параметрами.

Алгоритм исследования функции y=f(x) и построения ее графика таков:

 

1. Находим область определения (D(f)) функции y=f(x).

2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения x из D(f) значение -x также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность.

Если f({-x})=f(x), то функция четная. (Примером четной функции является функция y=x^2)

Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.

Если f({-x})=-f(x), то функция нечетная. (Примером нечетной функции является функция y=x^3)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для x>=0,  а затем соответствующим образом отразить ее.

3. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции - это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (OX).

Для этого мы решаем уравнение f(x)=0.

Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.

Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значение функции при x=0.

4. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция y=f(x) сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции y=f(x), нам нужно решить неравенстваf(x)>0  и f(x)<0.

5. Находим асимптоты графика функции.

6. Если функция периодическая, то находим период функции.

7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.

Для этого мы следуем привычному алгоритму.

а) Находим производную f^{prime}(x)

б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения f^{prime}(x)=0 - это стационарные точки.

в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которыхпроизводная положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убыванияфункции.

Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.

Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

8. И последний номер наше программы - точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости.

Подробнее о том, как находить точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости читайте здесь.

Итак, давайте, для примера, исследуем функцию y={x^3}/{x^2-3} и построим ее график.

1. Найдем D(y).

{x^2-3}<>0

x<>{pm}{sqrt{3}}

Сразу отметим, что при x={pm}{sqrt{3}} знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые x={sqrt{3}} и x=-{sqrt{3}} являются вертикальными асимптотами графика функции y={x^3}/{x^2-3}.

2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна нуля (мы выкололи две симметричные точки: x={sqrt{3}} и x=-{sqrt{3}})

f({-x})={({-x})^3}/{({-x})^2-3}={-x^3}/{x^2-3}=-f(x)

Получили, что f({-x})=-f(x), следовательно, функция y={x^3}/{x^2-3} - нечетная, и график функции симметричен относительно начала координат.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0)

{x^3}/{x^2-3}=0

x=0

б) Точка пересечения с осью ОY (x=0)

y={0}/{0-3}=0

График нашей функции проходит через начало координат.

4. Найдем промежутки знакопостоянства.

Решим неравенство {x^3}/{x^2-3}>0

Воспользуемся методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки:

Корень числителя: x=0

Корни знаменателя: x={sqrt{3}}x=-{sqrt{3}}

Расставим знаки:

Итак, f(x)>0  при x{in}({-{sqrt{3}}};0) и x{in}({{sqrt{3}}};{infty})

f(x)<0  при x{in}({{-{infty}};-{sqrt{3}}}) и x{in}({{0;sqrt{3}}})

5. Найдем асимптоты графика функции y={x^3}/{x^2-3}.

Вертикальные асимптоты мы уже нашли в  п.1, это прямые x={sqrt{3}} и x=-{sqrt{3}}.

Уравнение горизонтальной асимптоты функции y={x^3}/{x^2-3} имеет вид y=b, где

b=lim{x{right}{infty}}{{x^3}/{x^2-3}}.

Степень числителя дроби {x^3}/{x^2-3} на единицу больше степени знаменателя, поэтому lim{x{right}{infty}}{{x^3}/{x^2-3}}не существует, и график функции y={x^3}/{x^2-3} не имеет горизонтальной асимптоты.

Попробуем найти наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b.

Коэффициенты k и b вычисляются следующим образом:

k=lim{x{right}{infty}}{{f(x)}/x}

b=lim{x{right}{infty}}{({f(x)}-kx)}

В нашем случае k=lim{x{right}{infty}}{{x^3}/{x(x^2-3)}}=lim{x{right}{infty}}{{x^3}/{x^3-3x}}=1.

b=lim{x{right}{infty}}{({{x^3}/{x^2-3}}-x)}={x^3-x^3+3x}/{x^2-3}={3x}/{x^2-3}=0 (Степень знаменателя на единицу больше степени числителя).

То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=x.

Нанесем асимптоты на координатную плоскость:

6. Найдем промежутки возрастания-убывания функции y={x^3}/{x^2-3} и экстремумы.

а) Найдем производную функции y={x^3}/{x^2-3}

y^{prime}={({x^3}/{x^2-3})}^{prime}={3x^2(x^2-3)-x^3(2x)}/{({x^2-3})}^2={3x^4-9x^2-2x^4}/{({x^2-3})}^2={x^4-9x^2}/{({x^2-3})}^2

б) Приравняем производную к нулю:

x^4-9x^2=0

x^2(x^2-9)=0

x=0 (корень четной кратности); x=-3x=3

Корни знаменателя -  x={pm}{sqrt{3}} - также корни четной кратности.

В корнях четной кратности производная знак не меняет.

в) Нанесем нули производной  и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.

Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания.

Найдем значение функции в точках экстремума:

x_{max}=-3

y_{max}=y(-3)={(-3)^3}/{(-3)^2-3}={-27}/6=-4,5

x_{min}=3

y_{min}=y(3)={(3)^3}/{(3)^2-3}={27}/6=4,5

Заметим, что, поскольку функция {x^3}/{x^2-3} нечетная, и мы нашли, что y(-3)=-4,5, мы могли бы сразу написать, что y(3)=4,5

Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат.

На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции.

 

Теперь учтем промежутки возрастания-убывания и промежутки знакопостоянства функции (п. 4) и построим  ее график. Помним, что график функции не пересекает абсциссы, он лишь приближается к ним!

После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам.

Если наблюдается какое-то несоответствие, то необходимо повторить исследование и найти причину нестыковки графика и поведения функции.

ИСТОЧНИК

http://ege-ok.ru/2013/11/12/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika

http://www.youtube.com/watch?v=PJefDZBDNhY

http://www.youtube.com/watch?v=Ig81GEJE2YI

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-5-proizvodnaya/31-postroenie-grafikov-funktsij/15

 

 

 

 

 

Файлы