10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Преобразования сумм и произведений тригонометрических функций.

Комментарии преподавателя

Пре­об­ра­зо­ва­ние сумм три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций в про­из­ве­де­ние (сумма и раз­ность ко­си­ну­сов)

 1. Введение.  Доказательство формулы суммы косинусов

На уроке вы­во­дит­ся фор­му­ла суммы ко­си­ну­сов из фор­мул ко­си­ну­са суммы и ко­си­ну­са раз­но­сти ар­гу­мен­тов,  ре­ша­ют­ся при­ме­ры на вы­чис­ле­ние, упро­ще­ние и ре­ше­ние урав­не­ний с при­ме­не­ни­ем дан­ных фор­мул. Также вы­во­дит­ся фор­му­ла раз­но­сти ко­си­ну­сов с по­мо­щью фор­мул ко­си­ну­са суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов и ре­ша­ет­ся несколь­ко при­ме­ров.

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Скла­ды­вая ра­вен­ства, по­лу­ча­ет­ся:

В по­лу­чен­ной фор­му­ле вво­дят­ся обо­зна­че­ния:

Вы­ра­зим  и через  и Скла­ды­вая и вы­чи­тая ра­вен­ства, по­лу­ча­ет­ся:

Итак,

 2. Применение формулы при решении примеров

1. Упро­стить: 

Ре­ше­ние:

Ответ:

2. Вы­чис­лить:

Ре­ше­ние:

1)    

=

2)    

Ответ: 1.

 3. Применение формулы суммы косинусов при решении уравнений

4. Ре­шить урав­не­ние: .

Ре­ше­ние:

               .

            

                            Рис. 1.         

    

                            Рис. 2.

Ри­сун­ки 1 и 2 ил­лю­стри­ру­ют, что мно­же­ства ре­ше­ний объ­еди­нить нель­зя.

Ответ:.

 4. Решение уравнений вида cosαx+cosβx=0, где α≠±β

Ре­ше­ние:

Ответ:

 5. Доказательство формулы разности косинусов

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Вы­чи­тая ра­вен­ства, по­лу­ча­ем:

В по­лу­чен­ной фор­му­ле вве­дем удоб­ные обо­зна­че­ния, а имен­но:

Вы­ра­зим  и через  и Скла­ды­вая и вы­чи­тая ра­вен­ства, по­лу­ча­ем

Итак,

 6. Применение формулы разности косинусов при решении примеров

5. Вы­чис­лить: 

Ре­ше­ние:

1)    

2)    

Ответ: -1.

 7. Решение уравнений вида cosαx-cosβx=0, где α≠±β

Ре­ше­ние:

Вы­ра­зив , по­лу­ча­ет­ся ответ.

Ответ:

 8. Итог урока

1)    

      

2)    

  и   при 

имеют ре­ше­ния:

          

На уроке вы­во­ди­лись и ис­поль­зо­ва­лись фор­му­лы, по ко­то­рым сумма и раз­ность ко­си­ну­сов пре­об­ра­зу­ет­ся в про­из­ве­де­ние.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/preobrazovanie-summ-trigonometricheskih-funktsiy-v-proizvedenie-summa-i-raznost-kosinusov

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://nsportal.ru/sites/default/files/2011/12/20/summa_v_proizveden.trigon..pptx

http://www.youtube.com/watch?v=ApAp4AxJsdI

http://www.youtube.com/watch?v=2dZFOS8nO1Q

http://files.matmar.webnode.ru/system_preview_detail_200000448-8db7e8ead2-public/AL_10_04.jpg

http://renrehoula.science/pic-s.pikabu.ru/post_img/big/2013/05/08/10/1368027568_669423067.jpg

http://схемо.рф/upload/sx/568/preview/36.jpg

 

 

Файлы