9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.
9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы.
Комментарии преподавателя
Основные сведения о координатах вектора (напоминание)
Любой вектор 
разлагается по векторам 
и 
однозначно:
.
Если известно начало вектора – точка 
и конец вектора – точка 
то координаты вектора 
то есть из координат конца нужно вычесть координаты начала.
Через координаты векторов мы умеем находить их сумму, разность и произведение на число.
Пользуясь всем этим, рассмотрим три опорные задачи:
Координаты середины отрезка
Задача 1. Координаты середины отрезка.
Дано: отрезок АВ; ; 
; С – середина АВ.
Найти: координаты точки 
.
Решение (рис. 1):
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Построим векторы 
, 
и 
.
Найдем вектор :
Другим путем:
.
Сложим:
Так как С – середина отрезка и векторы 
и 
противонаправлены, то 
, следовательно 
.
Найдем координаты вектора 
Координаты вектора совпадают с координатами точки 
, координаты вектора совпадают с координатами точки 
.
Координаты вектора совпадают с координатами точки , следовательно
Определение длины вектора
Задача 2. Вычисление длины вектора по его координатам.
Дано: вектор 
Найти: длину вектора 
.
Решение (рис. 2):
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Задан вектор , отложим его от начала координат, получим вектор с началом в точке 
и концом в точке .
это проекция на ось 
;
это проекция на ось 
По теореме Пифагора 
Если вектор задан своими координатами, то его длина находится по формуле:
Формула расстояния между точками
Задача 3. Вычисление расстояния между точками.
Дано: точки 
и 
.
Найти: расстояние 
между точками.
Решение (рис. 3):
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Рассмотрим вектор 
. Из координат конца вычтем координаты начала:
.
Теперь нужно найти длину этого вектора.
Для этого отложим его от начала координат (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Получаем точки и 
; 
Раз векторы равны, то координаты точки 
(
равны координатам вектора .
(По формуле, полученной в задаче 2).
Решение задач
Задача 4.
Дано: отрезок 
, точка 
и точка 
середина .
Найти: координаты точки .
Решение (рис. 5):
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Каждая координата точки 
равна полусумме соответствующих координат точек 
Находим 
:
Ответ: 
Задача 5.
Дано: 
.
Найти: расстояние =
Решение (рис. 6):
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Ответ: 
Обзор основных сведений и формул для векторов в координатах
В координатной плоскости любой вектор 
однозначно разлагается по векторам 
и 
Числа 
определяются единственным образом и называются координатами вектора в данной системе координат (рис. 1).
Рис. 1. Координаты вектора
Если есть точка 
, то вектор с началом в начале координат, который называется радиус-вектором точки 
, имеет те же самые координаты: 
.
Основываясь на этом, мы рассмотрели 3 стандартные задачи:
Определение координат середины отрезка 
по координатам концов отрезка
и 
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Определение длины вектора 
с координатами 
.
Определение длины отрезка 
по координатам концов 
и 
.
Теперь применим эти сведения для решения задач.
Решение задач с использованием метода координат
Задача 1.
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Дан треугольник с вершинами 
. Найти медиану 
.
Дано: 
;
Найти: 
.
Решение:
Найдем координаты точки 
как середины отрезка ВС:
Найдем длину отрезка :
.
Ответ: 
.
Задача 2.
Вершина 
параллелограмма 
лежит на положительной полуоси 
, вершина 
имеет координаты 
; 
. Найти координаты точки 
сторону 
диагональ 
.
Решение:
Построим данный параллелограмм в прямоугольной системе координат (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Так как , то координаты точки 
. Пусть координаты точки 
.
Так как 
параллелограмм, то 
;
Координаты равны, следовательно,
Итак, 
;
так как вектор 
имеет те же координаты, что и точка .
так как координаты вектора 
совпадают с координатами точки 
Ответ: ; 
Задача 3.
Найти периметр треугольника, если известны координаты его вершин (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Дано: 
;
.
Найти: периметр 
.
Решение:
Воспользуемся формулой вычисления расстояния между точками.
Найдем длину 
:
Найдем длину 
:
Найдем длину 
:
Найдем периметр:
Ответ: 
Заключение
Итак, мы рассмотрели три простейшие опорные задачи и применили их для решения конкретных примеров.
Мы сделали обзор сведений о координатах, о простейших задачах и применили эти сведения для решения конкретных геометрических задач
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/prosteyshie-zadachi-v-koordinatah
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/primenenie-metoda-koordinat-v-reshenii-prosteyshih-zadach
http://www.youtube.com/watch?v=n5MXleghUhQ
http://www.youtube.com/watch?v=mwfriFJNFkM
http://www.youtube.com/watch?v=sdpkQaLqbvg
http://kafedra1428.narod.ru/p3.ppt
http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/11/13/prosteyshie_zadachi_v_koordinatakh.ppt
http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/13-test-po-geometrii-9-klass-tema-prostejshie-zadachi-v-koordinatakh-variant-2.html
http://gdz-matem.ru/9class/29-102-prosteyshie-zadachi-v-koordinatah.html
http://v.900igr.net/zip/c8e1ee9b0317ce86bfdfd1598c885b5c.zip