9 класс. Алгебра. Степенная функция.

Степенная функция. Общие выводы.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Степенная функция. Общие выводы.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы продолжим изучение степенной функции путем решения конкретных задач.
Вначале вспомним свойства функции и рассмотрим ее график. Вспомним свойства функции и проиллюстрируем их на графике. И будем решать типовые и сопутствующие задачи на степенную функцию с натуральным показателем.

Тема: Функции натуральные числа, их свойства и графики

Урок: Задачи на степенные функции

1. Введение

На этом уроке мы вспомним свойства степенных функций, т. е. функций вида , где – натуральное число, и решим серию типовых задач.

2. Функция

Рассмотрим степенную функцию с четным показателем степени (рис. 1).

3.Функция четная, т.е.

4. Всё семейство функций проходит через три фиксированные точки:

5. Функция не монотонна на всей области определения: функция убывает при ; функция возрастает при

3. Примеры

1. Отметим интервалы знакопостоянства функции на примере функции (рис. 2).

2. Рассмотрим функцию и ее интервалы знакопостоянства (рис. 3).

Рассмотрим задачу с параметром:

Найти число корней уравнения

Решение:

Метод решения подобных задач следующий:

1. Изобразить график функции.

2. Пересечь график семейством прямых

3. Определить число точек пересечения и выписать ответ (рис. 4).

При корней нет;

при уравнение имеет один корень;

при уравнение имеет два корня. Заметим, что сумма этих корней равна нулю.

4. Функция

Теперь кратко повторим график и свойства степенной функции с нечетным показателем.

Функция (рис. 5).

1.

2.

3. Функция нечетная, т.е. График симметричен относительно точки (0; 0).

4. Любая из функций проходит через три фиксированные характерные точки:

5. Функция монотонно возрастает.

5. Решение задач с использованием свойств степенных функций

Рассмотрим примеры.

1. Найти область значений функции и прочитать её график.

Решение:

При y убывает,

При y возрастает,

Ответ:

При функция возрастает,

Ответ:

2. Найдите точки пересечения графиков функций:

Решение:

Графики функций пересекаются в точках

Ответ:

Графики функций пересекаются в точках

Ответ:

3. Постройте и прочитайте график функции

Решение:

Еслито yубывает,

Если то yвозрастает,

Если то у убывает,

На примере предыдущей функции рассмотрим важную сопутствующую задачу.

Найти число корней уравнения с параметром:

Решение:

Решить уравнение с параметром означает перебрать все возможные значения параметра и для каждого указать ответ.

Методика решения таких задач нам известна:

1. Построить график функции .

2. Пересечь его семейством прямых.

3. Найти точки пересечения и выписать ответ (рис. 11).

Нет корней при .

Один корень при.

Два корня при.

Три корня при

На этом уроке мы продолжим изучение степенной функции с отрицательным показателем путем решения конкретных задач.
Вначале вспомним свойства функции с четным отрицательным показателем и рассмотрим ее график. Вспомним свойства функции с нечетным отрицательным показателем и проиллюстрируем их на графике. И будем решать типовые и сопутствующие задачи на степенную функцию с отрицательным показателем.

Тема: Числовые функции

Урок: Задачи на степенные функции

1. Тема урока, введение

Мы вспомним свойства степенных функций с целым отрицательным показателем и используем их при решении задач на степенную функцию.

2. Напоминание: график и свойства функции

Функция

Основные свойства:

1.

2.

3. Функция четная.

4. Две характерные фиксированные точки для всех кривых:

5. Асимптоты: прямые

6. Если то y возрастает,

Если то y убывает,

3. Напоминание: график и свойства функции

Функция

Основные свойства:

1.

2.

3. Функция нечетная.

4. Две фиксированные характерные точки для всех кривых:

5. Асимптоты: прямые

6. Если то y убывает,

Если то y убывает,

4. Решение задач

Рассмотрим типовые задачи:

1. Какая из точек – А или В – принадлежит графику функции если

Решение:

т. А:

т. А принадлежит графику.

т. В:

т. В не принадлежит графику.

Ответ: т. А.

2. Какая из точек А, В, С принадлежит графику функции если

Решение:

т. А:

т. В:

т. С:

Ответ: т. В принадлежит графику.

3. Постройте график функции и прочтите его.

Решение:

Построим график функции (Рис. 5). Его асимптоты – прямые и .

Чтобы получить график функции необходимо график сдвинуть на 1 вверх по оси yи на 1 единицу влево по оси x (Рис. 6).

Асимптоты полученного графика – прямые и , характерные точки

Если то y возрастает,

Если то y убывает,

4. Найдите все значения параметра m, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Решение:

Нам необходимо построить график функции , пересечь его семейством прямых , найти точки пересечения и записать ответ (Рис. 7).

Ответ:

5. Найти все значения параметра m, при каждом из которых уравнение

1. Не имеет решений.

2. Имеет только отрицательные решения.

3. Имеет два корня разных знаков.

Решение:

Ответ:

1.

2.

3.

6. Постройте график функции и прочитайте его.

Решение:

Построим график функции (Рис. 8).

Теперь чтобы получить график функции сдвинем кривую на 2 вправо вдоль оси x, и на 3 вверх по оси y(Рис. 9).

Прямые и являются асимптотами.

Характерные точки –

Если то y убывает,

7. Найти все значения параметра m, при каждом из которых уравнение

имеет решения

1. На луче

2. На луче

Решение:

Изобразим график функции и пересечем его семейством прямых (Рис. 10).

Ответ:

1.

2.

8. Решите графически неравенство

Решение:

Построим в одной системе координат график функции и график функции (Рис. 11).

Графики пересекаются в точке

Чтобы выполнялось неравенство кривая должна располагаться выше прямой

Ответ:

9. Даны две функции, и , где

Докажите, что

Доказательство:

Тождество доказано.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/zadachi-na-stepennye-funktsii-y-x-sup-n-sup-gde-n-prinadlezhit-n-2?konspekt&chapter_id=34

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/zadachi-na-stepennye-funktsii-y-x-sup-n-sup-gde-n-prinadlezhit-n?konspekt&chapter_id=34

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=V2Vk6DqELpk