8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Степень с отрицательным целым показателем.
8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Степень с отрицательным целым показателем.
Комментарии преподавателя
На данном уроке мы обсудим работу со степенями с отрицательными показателями. Мы узнаем, что все свойства степеней с натуральным показателем остаются верны и для степеней с отрицательным показателем.
Урок: Степень с отрицательным показателем
1. Определение и свойства степеней с натуральным показателем
Вспомним, что такое степень с натуральным показателем. По определению:
Вспомним также свойства степеней с натуральным показателем:
1. 
;
2. 
(
);
3. 
;
4. 
;
5. 
(
).
Постараемся ввести степень с отрицательным показателем так, чтобы свойства для степени с натуральным показателем остались верными и для степеней с отрицательными показателями.
2. Степень с нулевым показателем
Сначала введём степень с показателем 0. Для этого в свойстве 2 положим: 
. Получим:
()
()
Таким образом, получаем следующий вывод: для любого ненулевого основания его нулевая степень должна равняться 1.
Или: 
.
3. Степень с отрицательным показателем
Перейдём теперь к определению отрицательных степеней. Для этого в свойстве 2 положим 
, получим:
()
()
Получаем такое определение степени с отрицательным показателем:
, .
Мы вводили определение так, чтобы все свойства степени с натуральным показателем сохранялись. Вы можете в этом легко убедиться, подставив формулу из определения в остальные свойства. Поэтому в дальнейшем мы можем смело ими пользоваться.
4. Решение примера
Рассмотрим несколько примеров на применение полученного определения и свойств степени.
Пример 1.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой: 
. Докажите её самостоятельно.
г) 
.
Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой: 
. Докажите её самостоятельно.
5. Пример с приведением различных чисел к степеням с одинаковым основанием
Пример 2.
Представить следующие выражения в виде степеней числа 2:
.
Решение:
.
Последнее выражение можно было преобразовать и по-другому: 
.
Примечание: часто при упрощениях удобно пользоваться формулой: 
Докажите её самостоятельно.
Второй пример очень важен: мы научились сводить разные основания к одному. Это полезно при решении различных примеров.
6. Решение более сложных примеров
Пример 3. Вычислить:
а) 
;
б) 
.
Последнее выражение можно было преобразовывать и другим способом: 
Аналогичные идеи работают не только с числами, но и с буквенными выражениями. Рассмотрим несколько примеров.
7. Решение примеров с буквенными переменными
Пример 4.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
На этом уроке мы ввели понятие степени с отрицательным показателем, выяснили, что все свойства степеней с натуральными показателями остаются верными и для нового вида степеней. Также рассмотрели ряд примеров на применение данных свойств.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/stepen-s-otritsatelnym-pokazatelem?konspekt&chapter_id=13
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=sQJxYSk4sc8