8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Степень с отрицательным целым показателем.

8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Степень с отрицательным целым показателем.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы обсудим работу со степенями с отрицательными показателями. Мы узнаем, что все свойства степеней с натуральным показателем остаются верны и для степеней с отрицательным показателем.

 

Урок: Сте­пень с от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем

 1. Определение и свойства степеней с натуральным показателем

Вспом­ним, что такое сте­пень с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем. По опре­де­ле­нию:

Вспом­ним также свой­ства сте­пе­ней с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем:

1. ;

2.  ();

3. ;

4. ;

5.  ().

По­ста­ра­ем­ся вве­сти сте­пень с от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем так, чтобы свой­ства для сте­пе­ни с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем оста­лись вер­ны­ми и для сте­пе­ней с от­ри­ца­тель­ны­ми по­ка­за­те­ля­ми.

 2. Степень с нулевым показателем

Сна­ча­ла вве­дём сте­пень с по­ка­за­те­лем 0. Для этого в свой­стве 2 по­ло­жим: . По­лу­чим:

 ()

()

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щий вывод: для лю­бо­го нену­ле­во­го ос­но­ва­ния его ну­ле­вая сте­пень долж­на рав­нять­ся 1.

Или: .

 3. Степень с отрицательным показателем

Пе­рей­дём те­перь к опре­де­ле­нию от­ри­ца­тель­ных сте­пе­ней. Для этого в свой­стве 2 по­ло­жим , по­лу­чим:

 ()

 ()

По­лу­ча­ем такое опре­де­ле­ние сте­пе­ни с от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем:

.

Мы вво­ди­ли опре­де­ле­ние так, чтобы все свой­ства сте­пе­ни с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем со­хра­ня­лись. Вы мо­же­те в этом легко убе­дить­ся, под­ста­вив фор­му­лу из опре­де­ле­ния в осталь­ные свой­ства. По­это­му в даль­ней­шем мы можем смело ими поль­зо­вать­ся.

 4. Решение примера

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на при­ме­не­ние по­лу­чен­но­го опре­де­ле­ния и свойств сте­пе­ни.

 При­мер 1.

 а) ;

б) ;

в) ;

При­ме­ча­ние: часто при упро­ще­ни­ях удоб­но поль­зо­вать­ся фор­му­лой: . До­ка­жи­те её са­мо­сто­я­тель­но.

г) .

При­ме­ча­ние: часто при упро­ще­ни­ях удоб­но поль­зо­вать­ся фор­му­лой: . До­ка­жи­те её са­мо­сто­я­тель­но.

 5. Пример с приведением различных чисел к степеням с одинаковым основанием

При­мер 2.

Пред­ста­вить сле­ду­ю­щие вы­ра­же­ния в виде сте­пе­ней числа 2:

.

Ре­ше­ние:

.

По­след­нее вы­ра­же­ние можно было пре­об­ра­зо­вать и по-дру­го­му: .

При­ме­ча­ние: часто при упро­ще­ни­ях удоб­но поль­зо­вать­ся фор­му­лой:  До­ка­жи­те её са­мо­сто­я­тель­но.

Вто­рой при­мер очень важен: мы на­учи­лись сво­дить раз­ные ос­но­ва­ния к од­но­му. Это по­лез­но при ре­ше­нии раз­лич­ных при­ме­ров.

 6. Решение более сложных примеров

При­мер 3. Вы­чис­лить:

а) ;

б) .

По­след­нее вы­ра­же­ние можно было пре­об­ра­зо­вы­вать и дру­гим спо­со­бом: 

Ана­ло­гич­ные идеи ра­бо­та­ют не толь­ко с чис­ла­ми, но и с бук­вен­ны­ми вы­ра­же­ни­я­ми. Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров.

 7. Решение примеров с буквенными переменными

При­мер 4.

 а) ;

б) ;

в) ;

г) 

На этом уроке мы ввели по­ня­тие сте­пе­ни с от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем, вы­яс­ни­ли, что все свой­ства сте­пе­ней с на­ту­раль­ны­ми по­ка­за­те­ля­ми оста­ют­ся вер­ны­ми и для но­во­го вида сте­пе­ней. Также рас­смот­ре­ли ряд при­ме­ров на при­ме­не­ние дан­ных свойств.  

 

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/stepen-s-otritsatelnym-pokazatelem?konspekt&chapter_id=13

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=sQJxYSk4sc8

Файлы