8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Степень с отрицательным целым показателем.

8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Степень с отрицательным целым показателем.

Комментарии преподавателя

.

В рамках данного урока мы обсудим методику решения рациональных уравнений. Вначале мы рассмотрим несколько примеров на повторение преобразования рациональных выражений, акцентируем внимание на важности уметь работать с такого рода преобразованиями, а затем перейдем непосредственно к разбору примеров уравнений.

 

Тема: Ал­геб­ра­и­че­ские дроби. Ариф­ме­ти­че­ские опе­ра­ции над ал­геб­ра­и­че­ски­ми дро­бя­ми

Урок: Пер­вые пред­став­ле­ния о ре­ше­нии ра­ци­о­наль­ных урав­не­ний

 1. Понятие рационального уравнения и повторение преобразования рациональных выражений

Опре­де­ле­ние. Ра­ци­о­наль­ное урав­не­ние – это урав­не­ние вида  и все урав­не­ния к нему сво­дя­щи­е­ся, где  и  – мно­го­чле­ны.

За­ме­тим, что ре­ше­ние мно­же­ства ра­ци­о­наль­ных урав­не­ний ос­но­ва­но на тех­ни­ке пре­об­ра­зо­ва­ния ра­ци­о­наль­ных вы­ра­же­ний, ко­то­рую мы по­дроб­но рас­смат­ри­ва­ли на преды­ду­щих уро­ках. Нач­нем с по­вто­ре­ния тех­но­ло­гии по­доб­ных пре­об­ра­зо­ва­ний и решим несколь­ко при­ме­ров.

При­мер 1. Вы­пол­ни­те под­ста­нов­ку и упро­сти­те вы­ра­же­ние , где .

Ре­ше­ние. Вы­не­сем  за скоб­ку:

.

При­ме­ним стан­дарт­ный под­ход к упро­ще­нию по­доб­ных слож­ных вы­ра­же­ний и вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния по дей­стви­ям: сна­ча­ла упро­стим вы­ра­же­ние в скоб­ках, а затем умно­жим на . Под­ста­вим зна­че­ние пе­ре­мен­ной  в вы­ра­же­ние в скоб­ках:

, после со­кра­ще­ний и сло­же­ния дро­бей по­лу­чи­ли упро­щен­ный ре­зуль­тат.

Те­перь пе­рей­дем ко вто­ро­му дей­ствию и умно­жим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние на зна­че­ние :

.

Ответ. .

 2. Решение простейших рациональных уравнений

При­мер 4. Ре­шить урав­не­ние .

Ре­ше­ние. Нач­нем, как обыч­но, с упро­ще­ния ра­ци­о­наль­но­го вы­ра­же­ния, ука­зан­но­го в левой части урав­не­ния. Для этого най­дем наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель дро­бей, до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли и вы­чтем их:

.

На дан­ном этапе ре­ше­ния ак­цен­ти­ру­ем вни­ма­ние на важ­ном пра­ви­ле ре­ше­ния ра­ци­о­наль­ных урав­не­нийдробь равна нулю, когда ее чис­ли­тель равен нулю, а зна­ме­на­тель не равен нулю.

В нашем слу­чае в зна­ме­на­те­ле уже име­ет­ся число, не рав­ное нулю, по­это­му имеем ли­ней­ное урав­не­ние из чис­ли­те­ля:

.

Ответ..

При­мер 5. Ре­шить урав­не­ние .

Ре­ше­ние. Для того чтобы вос­поль­зо­вать­ся пра­ви­лом ре­ше­ния ра­ци­о­наль­ных урав­не­ний, пе­ре­не­сем все в левую сто­ро­ну, чтобы спра­ва по­лу­чил­ся ноль:

.

Для упро­ще­ния вы­ра­же­ния, на­хо­дя­ще­го­ся слева, сло­жим/вы­чтем дроби по хо­ро­шо из­вест­но­му нам ал­го­рит­му. Наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель дро­бей: .

.

В конце мы вос­поль­зо­ва­лись уже сфор­му­ли­ро­ван­ным пра­ви­лом ре­ше­ния ра­ци­о­наль­ных урав­не­ний (дробь равна нулю, когда ее чис­ли­тель равен нулю, а зна­ме­на­тель не равен нулю). По­лу­чен­ные огра­ни­че­ния на об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний пе­ре­мен­ной не по­вли­я­ли на по­лу­чен­ный ко­рень урав­не­ния.

Ответ..

На се­го­дняш­нем уроке мы рас­смот­ре­ли ос­но­вы тех­ни­ки ре­ше­ния ра­ци­о­наль­ных урав­не­ний и убе­ди­лись, что пре­жде всего она ба­зи­ру­ет­ся на уме­нии пре­об­ра­зо­вы­вать ра­ци­о­наль­ные вы­ра­же­ния.

На сле­ду­ю­щем уроке мы про­дол­жим ра­бо­тать с ра­ци­о­наль­ны­ми урав­не­ни­я­ми.

 

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/pervye-predstavleniya-o-reshenii-ratsionalnyh-uravneniy?konspekt&chapter_id=13

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=YBS_t908HjU

Файлы