11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

Решением неравенстваf(x)>g(x) называют ...

Комментарии преподавателя

Гра­фи­че­ский метод в за­да­чах с па­ра­мет­ром

 1. Суть решения задач с параметром, графический метод

Ранее мы ре­ша­ли урав­не­ния и нера­вен­ства с двумя пе­ре­мен­ны­ми вида , го­во­ри­ли, что су­ще­ству­ют част­ные ре­ше­ния и общие ре­ше­ния урав­не­ния или нера­вен­ства. Ре­шить урав­не­ние или нера­вен­ство с двумя пе­ре­мен­ны­ми озна­ча­ет найти мно­же­ство всех его ре­ше­ний. При­чем каж­дое част­ное ре­ше­ние – это пара чисел, а гео­мет­ри­че­ски это точка и мы изоб­ра­жа­ли на гра­фи­ке мно­же­ство ре­ше­ний в виде некой фи­гу­ры. Мы го­во­ри­ли, что одну из пе­ре­мен­ных обо­зна­чим па­ра­мет­ром, вот и обо­зна­чи­ли: . Так, имеем урав­не­ние и нера­вен­ство с па­ра­мет­ром а. для ре­ше­ния таких задач необ­хо­ди­мо сле­до­вать ал­го­рит­му:

1. По­стро­ить гра­фик урав­не­ния или нера­вен­ства;

2. Рас­сечь его пря­мы­ми ;

3. Найти точки пе­ре­се­че­ния;

4. Вы­пи­сать ответ;

 2. Графическое решение уравнения с параметром 

По­яс­ним ме­то­ди­ку на кон­крет­ных при­ме­рах.

При­мер 1 – ре­шить урав­не­ние с па­ра­мет­ром:

Со­глас­но ме­то­ди­ке на пер­вом шаге мы долж­ны по­стро­ить гра­фик за­дан­но­го урав­не­ния , в дан­ном слу­чае это квад­рат ABCD:

График функции

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

Чтобы легко по­стро­ить дан­ный гра­фик, нужно за­ме­тить, что есть сим­мет­рия и по х, и по а, то есть можем под­ста­вить вме­сто х  или вме­сто а  и ни­че­го не из­ме­нит­ся. Если най­де­но ре­ше­ние (х; а), то точки (-х; а), (-х; -а), (х; -а) также будут ре­ше­ни­ем.

Ис­хо­дя из вы­ше­ска­зан­но­го, ме­то­ди­ка по­стро­е­ния гра­фи­ка та­ко­ва: пред­по­ла­га­ем, что х и а по­ло­жи­тель­ные числа, тогда мо­ду­ли можно от­бро­сить и имеем:

Стро­им от­ре­зок АВ в пер­вой чет­вер­ти () и сим­мет­рич­но отоб­ра­жа­ем его от­но­си­тель­но обеих осей. Таким об­ра­зом, зная ре­ше­ние в одной чет­вер­ти, мы можем по­лу­чить ре­ше­ние в осталь­ных чет­вер­тях.

Те­перь необ­хо­ди­мо за­пи­сать урав­не­ние по­лу­чен­но­го от­рез­ка для каж­дой чет­вер­ти.

Пер­вая чет­верть: от­ре­зок АВ, 

Вто­рая чет­верть: от­ре­зок ВС, . Чтобы по­лу­чить дан­ное урав­не­ние необ­хо­ди­мо взять сим­мет­рию для урав­не­ния пер­вой чет­вер­ти от­но­си­тель­но оси у, при этом вме­сто х под­став­ля­ем .

Тре­тья чет­верть: от­ре­зок CD, 

Чет­вер­тая чет­верть: от­ре­зок AD, 

Далее со­глас­но ме­то­ди­ке необ­хо­ди­мо рас­сечь по­лу­чен­ное гео­мет­ри­че­ское место точек се­мей­ством пря­мых  и найти точки пе­ре­се­че­ния.

Рассечение графика функции семейством прямых

Рис. 2. Рас­се­че­ние гра­фи­ка функ­ции се­мей­ством пря­мых 

Неко­то­рая пря­мая пе­ре­се­чет гра­фик в двух точ­ках, на­при­мер пря­мая  рас­се­ка­ет ВС и АВ. Пря­мая  рас­се­ка­ет CD и AD. Дру­гая пря­мая во­об­ще не пе­ре­се­чет­ся с гра­фи­ком, на­при­мер пря­мая . Рас­смот­рим, каким об­ра­зом мы можем вы­ра­зить  ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния пря­мых с гра­фи­ком через па­ра­метр а.

От­ре­зок CD рас­се­чен пря­мой , в ре­зуль­та­те по­лу­че­на точка пе­ре­се­че­ния , дан­ное зна­че­ние мы вы­ра­зи­ли из урав­не­ния от­рез­ка CD. Ана­ло­гич­но от­ре­зок АD рас­се­чен пря­мой , в ре­зуль­та­те по­лу­че­на точка пе­ре­се­че­ния .

От­ре­зок ВС рас­се­чен пря­мой , в ре­зуль­та­те по­лу­че­на точка пе­ре­се­че­ния .

От­ре­зок АВ рас­се­чен пря­мой , в ре­зуль­та­те по­лу­че­на точка пе­ре­се­че­ния .

Те­перь глядя на гра­фик, можем вы­пи­сать ответ: при  урав­не­ние не имеет ре­ше­ний; при  урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние - ; при  урав­не­ние имеет два ре­ше­ния - ; при  урав­не­ние имеет два ре­ше­ния ; при  урав­не­ние имеет два ре­ше­ния - .

По­ста­нов­ка за­да­чи при ре­ше­нии урав­не­ния с па­ра­мет­ром может быть раз­лич­ной, на­при­мер, найти зна­че­ния па­ра­мет­ра, при ко­то­рых урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, но для того, чтобы ре­шать раз­но­об­раз­ные более узкие за­да­чи, необ­хо­ди­мо ре­шить пол­ную за­да­чу – пе­ре­брать все зна­че­ния па­ра­мет­ра и при каж­дом найти ре­ше­ние урав­не­ния.

 

 3. Графическое решение неравенств с параметром

При­мер 2 – ре­шить гра­фи­че­ским ме­то­дом нера­вен­ство с па­ра­мет­ром:

Со­глас­но ме­то­ди­ке сна­ча­ла нужно по­стро­ить гра­фик за­дан­но­го нера­вен­ства в осях х, а. в преды­ду­щем при­ме­ре мы стро­и­ли гра­фик урав­не­ния, сто­я­ще­го в левой части. Для по­стро­е­ния гра­фи­ка дан­но­го нера­вен­ства необ­хо­ди­мо лишь за­штри­хо­вать все зна­че­ния внут­ри квад­ра­та, так как это и есть ре­ше­ние нера­вен­ства.

График неравенства

Рис. 3. Гра­фик нера­вен­ства 

Далее необ­хо­ди­мо рас­сечь гра­фик се­мей­ством пря­мых  и найти точки пе­ре­се­че­ния. Рас­се­че­ние вы­пол­не­но на ри­сун­ке 21.3, точки пе­ре­се­че­ния най­де­ны в при­ме­ре 1 при ре­ше­нии урав­не­ния:

.

Глядя на гра­фик, можем вы­пи­сать ответ: при  нера­вен­ство не имеет ре­ше­ний; при  нера­вен­ство имеет един­ствен­ное ре­ше­ние - ; при  нера­вен­ство имеет мно­же­ство ре­ше­ний - ; при  нера­вен­ство имеет мно­же­ство ре­ше­ний ; при  нера­вен­ство имеет мно­же­ство ре­ше­ний - .

При­мер 3 – ре­шить гра­фи­че­ски нера­вен­ство с па­ра­мет­ром:

Дан­ное нера­вен­ство мы уже ре­ша­ли ранее, при­ме­няя метод об­ла­стей. Со­глас­но дан­но­му ме­то­ду:

Рас­смат­ри­ва­ем функ­цию, сто­я­щую в левой части, если спра­ва ноль, это функ­ция от двух пе­ре­мен­ных:

Ана­ло­гич­но ме­то­ду ин­тер­ва­лов вре­мен­но от­хо­дим от нера­вен­ства и изу­ча­ем осо­бен­но­сти и свой­ства со­став­лен­ной функ­ции.

ОДЗ: , зна­чит ось х вы­ка­лы­ва­ет­ся.

Те­перь ука­жем, что функ­ция равна нулю, когда чис­ли­тель дроби равен нулю, имеем:

Стро­им гра­фик функ­ции.

График функции , учитывая ОДЗ

Рис. 4. Гра­фик функ­ции , учи­ты­вая ОДЗ

Те­перь рас­смот­рим об­ла­сти зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции, они об­ра­зо­ва­ны пря­мой  и ло­ма­ной . внут­ри ло­ма­ной на­хо­дит­ся об­ласть D1. Между от­рез­ком ло­ма­ной  и пря­мой  – об­ласть D2, ниже пря­мой  – об­ласть D3, между от­рез­ком ло­ма­ной  и пря­мой  – об­ласть D4

В каж­дой из вы­бран­ных об­ла­стей функ­ция со­хра­ня­ет знак, зна­чит до­ста­точ­но в каж­дой об­ла­сти про­ве­рить про­из­воль­ную проб­ную точку, таким об­ра­зом по­лу­чи­ли, что в об­ла­стях  и  функ­ция по­ло­жи­тель­на, в об­ла­стях  и  – от­ри­ца­тель­на. Имеем ре­ше­ние нера­вен­ства:

Решение неравенства к примеру 3

Рис. 5. Ре­ше­ние нера­вен­ства к при­ме­ру 3

Далее со­глас­но ме­то­ди­ке необ­хо­ди­мо рас­сечь по­лу­чен­ное гео­мет­ри­че­ское место точек се­мей­ством пря­мых  и найти точки пе­ре­се­че­ния.

Рассечение графика семейством прямых

Рис. 6. Рас­се­че­ние гра­фи­ка се­мей­ством пря­мых 

Те­перь глядя на гра­фик можем вы­пи­сать ответ: при  имеем бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний ; при  ре­ше­ний нет; при  имеем мно­же­ство ре­ше­ний .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/graficheskiy-metod-v-zadachah-s-parametrom

http://www.youtube.com/watch?v=SOqp0rIIQeI

http://www.youtube.com/watch?v=Iwe-quvMRn4

http://yourtutor.info/решение-задач-с-параметрами-из-егэ

http://download.myshared.ru/irrpzFZaUookU8zMuZw21Q/1454263267/1199991.ppt

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

 

Файлы