11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

Геометрические методы в решениях задач с параметрами.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Геометрические методы в решениях задач с параметрами.

Комментарии преподавателя

Графический метод в задачах с параметром

1. Суть решения задач с параметром, графический метод

Ранее мы решали уравнения и неравенства с двумя переменными вида , говорили, что существуют частные решения и общие решения уравнения или неравенства. Решить уравнение или неравенство с двумя переменными означает найти множество всех его решений. Причем каждое частное решение – это пара чисел, а геометрически это точка и мы изображали на графике множество решений в виде некой фигуры. Мы говорили, что одну из переменных обозначим параметром, вот и обозначили: . Так, имеем уравнение и неравенство с параметром а. для решения таких задач необходимо следовать алгоритму:

1. Построить график уравнения или неравенства;

2. Рассечь его прямыми ;

3. Найти точки пересечения;

4. Выписать ответ;

2. Графическое решение уравнения с параметром

Поясним методику на конкретных примерах.

Пример 1 – решить уравнение с параметром:

Согласно методике на первом шаге мы должны построить график заданного уравнения , в данном случае это квадрат ABCD:

Рис. 1. График функции

Чтобы легко построить данный график, нужно заметить, что есть симметрия и по х, и по а, то есть можем подставить вместо х или вместо а и ничего не изменится. Если найдено решение (х; а), то точки (-х; а), (-х; -а), (х; -а) также будут решением.

Исходя из вышесказанного, методика построения графика такова: предполагаем, что х и а положительные числа, тогда модули можно отбросить и имеем:

Строим отрезок АВ в первой четверти () и симметрично отображаем его относительно обеих осей. Таким образом, зная решение в одной четверти, мы можем получить решение в остальных четвертях.

Теперь необходимо записать уравнение полученного отрезка для каждой четверти.

Первая четверть: отрезок АВ,

Вторая четверть: отрезок ВС, . Чтобы получить данное уравнение необходимо взять симметрию для уравнения первой четверти относительно оси у, при этом вместо х подставляем .

Третья четверть: отрезок CD,

Четвертая четверть: отрезок AD,

Далее согласно методике необходимо рассечь полученное геометрическое место точек семейством прямых и найти точки пересечения.

Рис. 2. Рассечение графика функции семейством прямых

Некоторая прямая пересечет график в двух точках, например прямая рассекает ВС и АВ. Прямая рассекает CD и AD. Другая прямая вообще не пересечется с графиком, например прямая . Рассмотрим, каким образом мы можем выразить координаты точек пересечения прямых с графиком через параметр а.

Отрезок CD рассечен прямой , в результате получена точка пересечения , данное значение мы выразили из уравнения отрезка CD. Аналогично отрезок АD рассечен прямой , в результате получена точка пересечения .

Отрезок ВС рассечен прямой , в результате получена точка пересечения .

Отрезок АВ рассечен прямой , в результате получена точка пересечения .

Теперь глядя на график, можем выписать ответ: при уравнение не имеет решений; при уравнение имеет единственное решение - ; при уравнение имеет два решения - ; при уравнение имеет два решения ; при уравнение имеет два решения - .

Постановка задачи при решении уравнения с параметром может быть различной, например, найти значения параметра, при которых уравнение не имеет решений, но для того, чтобы решать разнообразные более узкие задачи, необходимо решить полную задачу – перебрать все значения параметра и при каждом найти решение уравнения.

3. Графическое решение неравенств с параметром

Пример 2 – решить графическим методом неравенство с параметром:

Согласно методике сначала нужно построить график заданного неравенства в осях х, а. в предыдущем примере мы строили график уравнения, стоящего в левой части. Для построения графика данного неравенства необходимо лишь заштриховать все значения внутри квадрата, так как это и есть решение неравенства.

Рис. 3. График неравенства

Далее необходимо рассечь график семейством прямых и найти точки пересечения. Рассечение выполнено на рисунке 21.3, точки пересечения найдены в примере 1 при решении уравнения:

, , , .

Глядя на график, можем выписать ответ: при неравенство не имеет решений; при неравенство имеет единственное решение - ; при неравенство имеет множество решений - ; при неравенство имеет множество решений ; при неравенство имеет множество решений - .

Пример 3 – решить графически неравенство с параметром:

Данное неравенство мы уже решали ранее, применяя метод областей. Согласно данному методу:

Рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль, это функция от двух переменных:

Аналогично методу интервалов временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.

ОДЗ: , значит ось х выкалывается.

Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:

Строим график функции.

Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ

Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной . внутри ломаной находится область D1. Между отрезком ломаной и прямой – область D2, ниже прямой – область D3, между отрезком ломаной и прямой – область D4

В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку, таким образом получили, что в областях и функция положительна, в областях и – отрицательна. Имеем решение неравенства: