11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.

Решением неравенства p(x;y)>0 называют ...

Комментарии преподавателя

 1. Основные теоретические факты

Рас­смот­рим в общем виде урав­не­ние и нера­вен­ство с двумя пе­ре­мен­ны­ми.

 – урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми;

 – нера­вен­ство с двумя пе­ре­мен­ны­ми, знак нера­вен­ства может быть любым;

Здесь х и у – пе­ре­мен­ные, р – вы­ра­же­ние, от них за­ви­ся­щее

Пара чисел () на­зы­ва­ет­ся част­ным ре­ше­ни­ем та­ко­го урав­не­ния или нера­вен­ства, если при под­ста­нов­ке этой пары в вы­ра­же­ние по­лу­ча­ем вер­ное урав­не­ние или нера­вен­ство со­от­вет­ствен­но.

За­да­ча со­сто­ит в том, чтобы найти или изоб­ра­зить на плос­ко­сти мно­же­ство всех ре­ше­ний. Можно пе­ре­фра­зи­ро­вать дан­ную за­да­чу – найти гео­мет­ри­че­ское место точек (ГМТ), по­стро­ить гра­фик урав­не­ния или нера­вен­ства.

 2. Уравнение и неравенство с прямой 

При­мер 1 – ре­шить урав­не­ние и нера­вен­ство:

Иначе го­во­ря, за­да­ча под­ра­зу­ме­ва­ет найти ГМТ.

Рас­смот­рим ре­ше­ние урав­не­ния. В дан­ном слу­чае зна­че­ние пе­ре­мен­ной х может быть любым, в связи с этим имеем:

Оче­вид­но, что ре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ет­ся мно­же­ство точек, об­ра­зу­ю­щих пря­мую 

График уравнения, пример 1

Рис. 1. Гра­фик урав­не­ния, при­мер 1

Ре­ше­ни­я­ми за­дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся, в част­но­сти, точки (-1;0), (0; 1), (х0, х0+1)

Ре­ше­ни­ем за­дан­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся по­лу­плос­кость, рас­по­ло­жен­ная над пря­мой , вклю­чая саму пря­мую (см. ри­су­нок 1). Дей­стви­тель­но, если взять любую точку х0 на пря­мой, то имеем ра­вен­ство . Если же взять точку в по­лу­плос­ко­сти над пря­мой, имеем . Если мы возь­мем точку в по­лу­плос­ко­сти под пря­мой, то она не удо­вле­тво­рит на­ше­му нера­вен­ству: .

 3. Уравнение и неравенство с окружностью  

Те­перь рас­смот­рим за­да­чу с окруж­но­стью и кру­гом.

При­мер 2 – ре­шить урав­не­ние и нера­вен­ство:

Мы знаем, что за­дан­ное урав­не­ние – это урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ра­ди­у­сом 1.

Иллюстрация к примеру 2

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 2

В про­из­воль­ной точке х0 урав­не­ние имеет два ре­ше­ния: (х0; у0) и (х0; -у0).

Ре­ше­ни­ем за­дан­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство точек, рас­по­ло­жен­ных внут­ри окруж­но­сти, не учи­ты­вая саму окруж­ность (см. ри­су­нок 2).

 4.  Уравнение с модулями

Рас­смот­рим урав­не­ние с мо­ду­ля­ми.

При­мер 3 – ре­шить урав­не­ние:

В дан­ном слу­чае можно было бы рас­кры­вать мо­ду­ли, но мы рас­смот­рим спе­ци­фи­ку урав­не­ния. Неслож­но за­ме­тить, что гра­фик дан­но­го урав­не­ния сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но обеих осей. Тогда если точка (х0; у0) яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем, то и точка (х0; -у0) – также ре­ше­ние, точки (-х0; у0) и (-х0; -у0) также яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем.

Таким об­ра­зом, до­ста­точ­но найти ре­ше­ние там, где обе пе­ре­мен­ные неот­ри­ца­тель­ны, и взять сим­мет­рию от­но­си­тель­но осей:

Иллюстрация к примеру 3

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 3

Итак, как мы видим, ре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ет­ся квад­рат.

 5.  Метод областей в решении неравенств

Рас­смот­рим так на­зы­ва­е­мый метод об­ла­стей на кон­крет­ном при­ме­ре.

При­мер 4 – изоб­ра­зить мно­же­ство ре­ше­ний нера­вен­ства:

Со­глас­но ме­то­ду об­ла­стей, пер­вым делом рас­смат­ри­ва­ем функ­цию, сто­я­щую в левой части, если спра­ва ноль. Это функ­ция от двух пе­ре­мен­ных:

Ана­ло­гич­но ме­то­ду ин­тер­ва­лов, вре­мен­но от­хо­дим от нера­вен­ства и изу­ча­ем осо­бен­но­сти и свой­ства со­став­лен­ной функ­ции.

ОДЗ: , зна­чит, ось х вы­ка­лы­ва­ет­ся.

Те­перь ука­жем, что функ­ция равна нулю, когда чис­ли­тель дроби равен нулю, имеем:

Стро­им гра­фик функ­ции.                                 

График функции

Рис. 4. Гра­фик функ­ции , учи­ты­вая ОДЗ

Те­перь рас­смот­рим об­ла­сти зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции, они об­ра­зо­ва­ны пря­мой  и ло­ма­ной . внут­ри ло­ма­ной на­хо­дит­ся об­ласть D1. Между от­рез­ком ло­ма­ной  и пря­мой  – об­ласть D2, ниже пря­мой  – об­ласть D3, между от­рез­ком ло­ма­ной  и пря­мой  – об­ласть D4

В каж­дой из вы­бран­ных об­ла­стей функ­ция со­хра­ня­ет знак, зна­чит до­ста­точ­но в каж­дой об­ла­сти про­ве­рить про­из­воль­ную проб­ную точку.

В об­ла­сти  возь­мем точку (0;1). Имеем:

Так, вся об­ласть  по­ло­жи­тель­на и удо­вле­тво­ря­ет за­дан­но­му нера­вен­ству.

В об­ла­сти  возь­мем точку (10;1). Имеем:

Так, вся об­ласть  от­ри­ца­тель­на и не удо­вле­тво­ря­ет за­дан­но­му нера­вен­ству.

В об­ла­сти  возь­мем точку (0;-5). Имеем:

Так, вся об­ласть  по­ло­жи­тель­на и удо­вле­тво­ря­ет за­дан­но­му нера­вен­ству.

В об­ла­сти  возь­мем точку (-3;1). Имеем:

Так, вся об­ласть  от­ри­ца­тель­на и не удо­вле­тво­ря­ет за­дан­но­му нера­вен­ству.

Изоб­ра­зим мно­же­ство ре­ше­ний нера­вен­ства, как тре­бо­ва­лось в за­да­че:

Решение примера 4

Рис. 5. Ре­ше­ние при­ме­ра 4

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние раз­лич­ных урав­не­ний и нера­венств с двумя пе­ре­мен­ны­ми

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/uravneniya-i-neravenstva-s-dvumya-peremennymi

http://www.youtube.com/watch?v=rZjJTbx2Glw

http://www.youtube.com/watch?v=dt9BYXluKRQ

http://www.youtube.com/watch?v=Xoai0CBxrBE

http://www.youtube.com/watch?v=w6W9_eWPAcM

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-uravneniya-i-neravenstva-s-dvumya-peremwnnimi.pptx

http://v.5klass.net/zip/887a9ea1b78b9308bed1726524bd31d4.zip

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg 

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

 

Файлы