11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.

Решение совокупности неравенств представляет собой ...

Комментарии преподавателя

 1. Определения модуля

Су­ще­ству­ет несколь­ко опре­де­ле­ний мо­ду­ля. Эти опре­де­ле­ния долж­ны быть рав­но­цен­ны, эк­ви­ва­лент­ны, т. е. из пер­во­го опре­де­ле­ния сле­ду­ет вто­рое, а из вто­ро­го пер­вое.

Опре­де­ле­ние:

Мо­ду­лем числа t на­зы­ва­ет­ся само число t, если оно боль­ше нуля, мо­ду­лем нуля яв­ля­ет­ся ноль, и если под мо­ду­лем от­ри­ца­тель­ное число, то мо­дуль t равен минус t.

 

Обыч­но в за­да­чах под мо­ду­лем стоит целое вы­ра­же­ние, за­ви­ся­щее от х, тогда:

Из ве­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет про­стое пра­ви­ло: если под мо­ду­лем стоит по­ло­жи­тель­ное число, то мо­дуль можно от­бро­сить. Если же под мо­ду­лем стоит от­ри­ца­тель­ное число, то мо­дуль сле­ду­ет от­бро­сить, но по­ста­вить знак минус перед всем под­мо­дуль­ным вы­ра­же­ни­ем.

Опре­де­ле­ние:

Мо­дуль числа t – это рас­сто­я­ние от точки t до точки 0.

В част­но­сти, 

На­при­мер:

Модули чисел 3 и -3

Рис. 1. Мо­ду­ли чисел 3 и -3

 

 2. Решение простейших примеров 

Из опре­де­ле­ния мо­ду­ля сле­ду­ет ос­нов­ной прием ре­ше­ния задач с мо­ду­лем, а имен­но, осво­бо­дить­ся от мо­ду­ля на ос­но­ве его опре­де­ле­ния. По­яс­ним на кон­крет­ном при­ме­ре.

При­мер 1 – по­стро­ить гра­фик функ­ции:

Со­глас­но опре­де­ле­нию мо­ду­ля, рас­смат­ри­ва­ем два слу­чая:

График функции

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ства:

a) 

Решим, опи­ра­ясь на вто­рое опре­де­ле­ние:

Про­ил­лю­стри­ру­ем:

Решение примера 2.a

Рис. 3. Ре­ше­ние при­ме­ра 2.a

Любая точка, не при­над­ле­жа­щая вы­бран­но­му от­рез­ку, не будет яв­лять­ся ре­ше­ни­ем, так как рас­сто­я­ние от нее до точки 3 будет боль­ше за­дан­но­го рас­сто­я­ния.

Ответ: 

б) 

Про­ил­лю­стри­ру­ем:

Решение примера 2.б

Рис. 4. Ре­ше­ние при­ме­ра 2.б

Любая точка, не при­над­ле­жа­щая вы­бран­ным про­ме­жут­кам, не будет яв­лять­ся ре­ше­ни­ем, так как рас­сто­я­ние от нее до точки 3 будет мень­ше за­дан­но­го рас­сто­я­ния.

Ответ: 

Рас­смот­рим нера­вен­ства вида:

Дан­ное нера­вен­ство можно ре­шать двумя спо­со­ба­ми.

Спо­соб 1 (по опре­де­ле­нию):

Спо­соб 2:

Стро­гое до­ка­за­тель­ство дан­но­го спо­со­ба опу­стим, при­ве­дем и про­ком­мен­ти­ру­ем его.

По­яс­ним на гра­фи­ке (ри­су­нок 5)

Рис. 5. По­яс­ни­тель­ный гра­фик

Итак, на ри­сун­ке 12.5 изоб­ра­жен гра­фик функ­ции . Ре­ше­ния нера­вен­ства  за­штри­хо­ва­ны зе­ле­ным цве­том. Если функ­ция g(x) за­да­на как кон­стан­та, то нас удо­вле­тво­рит про­ме­жу­ток зна­че­ний (-g; g) – по­ка­за­но крас­ным.

 3. Схемы решения более сложных неравенств с уединенным модулем  

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щий тип нера­венств с уеди­нен­ным мо­ду­лем:

Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му нера­вен­ству, по­ка­жем два спо­со­ба ре­ше­ния.

Спо­соб 1:

Спо­соб 2:

До­ка­за­тель­ство дан­но­го спо­со­ба можно по­лу­чить, про­дол­жив пре­об­ра­зо­вы­вать со­во­куп­ность, по­лу­чен­ную в пер­вом спо­со­бе. Мы про­ил­лю­стри­ру­ем дан­ный спо­соб ре­ше­ния:

Пояснительный график

Рис. 6. По­яс­ни­тель­ный гра­фик

Итак, на ри­сун­ке 6 изоб­ра­жен гра­фик функ­ции . Ре­ше­ния нера­вен­ства  за­штри­хо­ва­ны зе­ле­ным цве­том. Если функ­ция g(x) за­да­на как кон­стан­та, то нас удо­вле­тво­рят про­ме­жут­ки зна­че­ний  – по­ка­за­но крас­ным.

 

 4. Решение примеров 

При­мер 3 – ре­шить нера­вен­ство:

Ре­ша­ем нера­вен­ство вто­рым спо­со­бом:

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние си­сте­мы:

Решение системы в примере 3

Рис. 7 Ре­ше­ние си­сте­мы в при­ме­ре 3

Ответ: 

При­мер 4 – ре­шить нера­вен­ство:

Ре­ша­ем вто­рым спо­со­бом:

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние со­во­куп­но­сти:

Решение совокупности в примере 4

Рис. 8. Ре­ше­ние со­во­куп­но­сти в при­ме­ре 4

Ответ: 

 5. Решение неравенств с модулем методом интервалов

Нера­вен­ства с мо­ду­лем можно ре­шать ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

При­мер 5 – ре­шить нера­вен­ства:

а) 

б) 

Со­глас­но стан­дарт­но­му ал­го­рит­му, рас­смат­ри­ва­ем функ­цию, сто­я­щую в левой части, если спра­ва ноль:

Ис­сле­ду­ем функ­цию. ОДЗ: 

Чтобы найти корни, решим урав­не­ние:

Вы­де­ля­ем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства и опре­де­ля­ем знаки функ­ции:

Интервалы знакопостоянства функции

Рис. 9. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции

Ответ: а); б) ;

 6. Решение неравенства с двумя модулями

Рас­смот­рим нера­вен­ство, в ко­то­ром срав­ни­ва­ют­ся два мо­ду­ля.

При­мер 6 – ре­шить нера­вен­ство:

На­пом­ним, что если обе части нера­вен­ства по­ло­жи­тель­ны, мы имеем право воз­ве­сти их в квад­рат, при этом рав­но­силь­ность не те­ря­ет­ся. В дан­ном слу­чае каж­дый мо­дуль неот­ри­ца­те­лен, имеем право воз­ве­сти в квад­рат, при этом мо­ду­ли уни­что­жат­ся, со­глас­но свой­ству ():

Пе­ре­не­сем все в одну сто­ро­ну и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

Вы­не­сем из ско­бок кон­стант­ные мно­жи­те­ли:

Раз­де­лим обе части нера­вен­ства на минус три, при этом знак нера­вен­ства ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ный:

По­лу­че­но про­стей­шее квад­рат­ное нера­вен­ство. Па­ра­бо­ла, ветви на­прав­ле­ны вверх, ин­те­ре­су­ю­щие нас зна­че­ния на­хо­дят­ся в ин­тер­ва­ле между кор­ня­ми.

Ответ: 

            Итак, мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные ти­по­вые нера­вен­ства с мо­ду­лем, при­ве­ли неко­то­рые схемы ре­ше­ния и ре­ши­ли при­ме­ры. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/neravenstva-s-modulyami

http://www.youtube.com/watch?v=quY1vqZXJyE

http://www.youtube.com/watch?v=KIKIrjAmbN8

http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/11-reshenie-neravenstv-s-modulem/

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-irrazionalnie-neravenstva.pptx

http://yukhym.com/ru/matematika/reshenie-neravenstv-s-modulyami.html

 

Файлы