11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.

Комментарии преподавателя

 1. Неравенства: схема решения, пример

При ре­ше­нии ир­ра­ци­о­наль­ных нера­венств до­воль­но часто необ­хо­ди­мо воз­во­дить обе части нера­вен­ства в неко­то­рую сте­пень, это до­воль­но от­вет­ствен­ная опе­ра­ция. На­пом­ним осо­бен­но­сти.

Обе части нера­вен­ства можно воз­ве­сти в квад­рат, если обе они неот­ри­ца­тель­ны, толь­ко тогда мы по­лу­ча­ем из вер­но­го нера­вен­ства вер­ное нера­вен­ство.

Обе части нера­вен­ства можно воз­ве­сти куб в любом слу­чае, если ис­ход­ное нера­вен­ство было вер­ным, то при воз­ве­де­нии в куб мы по­лу­чим вер­ное нера­вен­ство.

Рас­смот­рим нера­вен­ство вида:

Под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние долж­но быть неот­ри­ца­тель­ным. Функ­ция  может при­ни­мать любые зна­че­ния, необ­хо­ди­мо рас­смот­реть два слу­чая.

В пер­вом слу­чае обе части нера­вен­ства неот­ри­ца­тель­ны, имеем право воз­ве­сти в квад­рат. Во вто­ром слу­чае пра­вая часть от­ри­ца­тель­на, и мы не имеем права воз­во­дить в квад­рат. В таком слу­чае необ­хо­ди­мо смот­реть на смысл нера­вен­ства: здесь по­ло­жи­тель­ное вы­ра­же­ние (квад­рат­ный ко­рень) боль­ше от­ри­ца­тель­но­го вы­ра­же­ния, зна­чит, нера­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся все­гда.

Итак, имеем сле­ду­ю­щую схему ре­ше­ния:

В пер­вой си­сте­ме мы не за­щи­ща­ем от­дель­но под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние, т. к. при вы­пол­не­нии вто­ро­го нера­вен­ства си­сте­мы под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние ав­то­ма­ти­че­ски долж­но быть по­ло­жи­тель­но.

При­мер 1 – ре­шить нера­вен­ство:

Со­глас­но схеме, пе­ре­хо­дим к эк­ви­ва­лент­ной со­во­куп­но­сти двух си­стем нера­венств:

Про­ил­лю­стри­ру­ем:

Рис. 1 – ил­лю­стра­ция ре­ше­ния при­ме­ра 1

Ответ:

 

 2. Упрощение полученной схемы 

Как мы видим, при из­бав­ле­нии от ир­ра­ци­о­наль­но­сти, на­при­мер, при воз­ве­де­нии в квад­рат, по­лу­ча­ем со­во­куп­ность си­стем. Ино­гда эту слож­ную кон­струк­цию можно упро­стить. В по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти мы имеем право упро­стить первую си­сте­му и по­лу­чить эк­ви­ва­лент­ную со­во­куп­ность:

В ка­че­стве са­мо­сто­я­тель­но­го упраж­не­ния необ­хо­ди­мо до­ка­зать эк­ви­ва­лент­ность дан­ных со­во­куп­но­стей.

 3. Неравенства, схема решения  

Рас­смот­рим нера­вен­ство вида:

Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му нера­вен­ству, рас­смат­ри­ва­ем два слу­чая:

В пер­вом слу­чае обе части нера­вен­ства неот­ри­ца­тель­ны, имеем право воз­ве­сти в квад­рат. Во вто­ром слу­чае пра­вая часть от­ри­ца­тель­на, и мы не имеем права воз­во­дить в квад­рат. В таком слу­чае необ­хо­ди­мо смот­реть на смысл нера­вен­ства: здесь по­ло­жи­тель­ное вы­ра­же­ние (квад­рат­ный ко­рень) мень­ше от­ри­ца­тель­но­го вы­ра­же­ния, зна­чит, нера­вен­ство про­ти­во­ре­чи­во. Вто­рую си­сте­му рас­смат­ри­вать не нужно.

Имеем эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

 

 4. Решение иррациональных неравенств графическим способом 

Ино­гда ир­ра­ци­о­наль­ное нера­вен­ство можно ре­шить гра­фи­че­ским ме­то­дом. Дан­ный спо­соб при­ме­ним, когда со­от­вет­ству­ю­щие гра­фи­ки можно до­ста­точ­но легко по­стро­ить и найти их точки пе­ре­се­че­ния.

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ства гра­фи­че­ски:

а) 

б) 

Пер­вое нера­вен­ство мы уже ре­ша­ли и знаем ответ.

Чтобы ре­шить нера­вен­ства гра­фи­че­ски, нужно по­стро­ить гра­фик функ­ции, сто­я­щей в левой части, и гра­фик функ­ции, сто­я­щей в пра­вой части.

Рис. 2. Гра­фи­ки функ­ций  и 

Для по­стро­е­ния гра­фи­ка функ­ции  необ­хо­ди­мо пре­об­ра­зо­вать па­ра­бо­лу  в па­ра­бо­лу  (зер­каль­но отоб­ра­зить от­но­си­тель­но оси у), по­лу­чен­ную кри­вую сме­стить на 7 еди­ниц впра­во. Гра­фик под­твер­жда­ет, что дан­ная функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет на своей об­ла­сти опре­де­ле­ния.

Гра­фик функ­ции  – это пря­мая, ее легко по­стро­ить. Точка пе­ре­се­че­ния с осью у – (0;-1).

Пер­вая функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет, вто­рая мо­но­тон­но воз­рас­та­ет. Если урав­не­ние имеет ко­рень, то он един­ствен­ный, по гра­фи­ку легко его уга­дать: .

Когда зна­че­ние ар­гу­мен­та мень­ше корня, па­ра­бо­ла на­хо­дит­ся выше пря­мой. Когда зна­че­ние ар­гу­мен­та на­хо­дит­ся в пре­де­лах от трех до семи, пря­мая про­хо­дит выше па­ра­бо­лы.

Имеем ответ:

а) ; б) 

 5. Решение иррациональных неравенств методом интервалов

Эф­фек­тив­ным ме­то­дом ре­ше­ния ир­ра­ци­о­наль­ных нера­венств яв­ля­ет­ся метод ин­тер­ва­лов.

При­мер 3 – ре­шить нера­вен­ства ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

а) 

б) 

со­глас­но ме­то­ду ин­тер­ва­лов, необ­хо­ди­мо вре­мен­но отой­ти от нера­вен­ства. Для этого пе­ре­не­сти в за­дан­ном нера­вен­стве все в левую часть (по­лу­чить спра­ва ноль) и вве­сти функ­цию, рав­ную левой части:

те­перь необ­хо­ди­мо изу­чить по­лу­чен­ную функ­цию.

ОДЗ: 

Корни: 

Дан­ное урав­не­ние мы уже ре­ша­ли гра­фи­че­ски, по­это­му не оста­нав­ли­ва­ем­ся на опре­де­ле­нии корня.

Те­перь необ­хо­ди­мо вы­де­лить ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства и опре­де­лить знак функ­ции на каж­дом ин­тер­ва­ле:

Рис. 3. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства к при­ме­ру 3

На­пом­ним, что для опре­де­ле­ния зна­ков на ин­тер­ва­ле необ­хо­ди­мо взять проб­ную точку и под­ста­вить ее в функ­цию, по­лу­чен­ный знак функ­ция будет со­хра­нять на всем ин­тер­ва­ле.

Про­ве­рим зна­че­ние в гра­нич­ной точке:

Оче­ви­ден ответ:

а) ; б) 

 

 6. Неравенства, схема решения, пример

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щий тип нера­венств:

Сна­ча­ла за­пи­шем ОДЗ:

Корни су­ще­ству­ют, они неот­ри­ца­тель­ны, обе части можем воз­ве­сти в квад­рат. По­лу­ча­ем:

По­лу­чи­ли эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

По­лу­чен­ную си­сте­му можно упро­стить. При вы­пол­не­нии вто­ро­го и тре­тье­го нера­венств пер­вое ис­тин­но ав­то­ма­ти­че­ски. Имеем:: 

 

При­мер 4 – ре­шить нера­вен­ство:

Дей­ству­ем по схеме – по­лу­ча­ем эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

Ответ: 

 7. Неравенства, схема решения, пример

Рас­смот­рим нера­вен­ства вида:

В дан­ном слу­чае имеем дело с кор­нем нечет­ной сте­пе­ни, в левой и пра­вой части нера­вен­ства могут сто­ять любые (как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные) числа. Имеем эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство:

 

При­мер 5 – ре­шить нера­вен­ство:

Ответ: 

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние раз­лич­ных ти­по­вых ир­ра­ци­о­наль­ных нера­венств, при­ве­ли несколь­ко ме­то­дов ре­ше­ния и ре­ши­ли при­ме­ры. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/irratsionalnye-neravenstva

http://www.youtube.com/watch?v=EndGX_5k3Tw

http://www.youtube.com/watch?v=BmczzmqmLrI

http://www.youtube.com/watch?v=Wr1P5KXHPIo

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы