11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность уравнений.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность уравнений.

Комментарии преподавателя

 1. Уравнения вида h(f(x)) = h (g(x)). Пример 1,2

Рас­смот­рим урав­не­ния

(1)                (2) 

 – слож­ная функ­ция. Ее ар­гу­мен­том яв­ля­ют­ся функ­ции. В пер­вом слу­чае равны функ­ции, во вто­ром – ар­гу­мен­ты. Если   – ре­ше­ние урав­не­ния (2), то будет ли это кор­нем урав­не­ния (1)? Да, будет, если  су­ще­ству­ет.

Рас­смот­рим кон­крет­ный при­мер.

При­мер 1.

  и  

Решим урав­не­ние (2):

Про­ве­рим, будет ли ре­ше­ние урав­не­ния (1) таким же:

Рас­смот­рим урав­не­ние (2)

 – мо­но­тон­ная функ­ция, по­это­му урав­не­ния (1) и (2) рав­но­силь­ны.

И по­это­му, решая урав­не­ние (1), мы ре­ша­ем урав­не­ние (2).

Ответ: 

Пе­ре­обо­зна­чим: 

Тогда урав­не­ние (1) при­мет вид:

 (3)

Имеем ра­вен­ство функ­ций.

Урав­не­ние (2) при­мет вид:

(4)

Имеем ра­вен­ство ар­гу­мен­тов.

Вспом­ним опре­де­ле­ние функ­ции.

Опре­де­ле­ние.

 (един­ствен­ность)

То есть, каж­до­му до­пу­сти­мо­му ар­гу­мен­ту ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ное зна­че­ние.

Сле­до­ва­тель­но, из ра­вен­ства ар­гу­мен­тов сле­ду­ет ра­вен­ство функ­ций:

При­мер 2.

а)    

При любом до­пу­сти­мом ос­но­ва­нии .

б) 

Из ра­вен­ства мо­но­тон­ных функ­ций сле­ду­ет ра­вен­ство ар­гу­мен­тов:

Функ­ция мо­но­тон­на, а зна­чит, каж­дое зна­че­ние функ­ция при­ни­ма­ет при един­ствен­ном зна­че­нии:

Рис. 1. Зна­че­ние функ­ции

Можно сде­лать вывод:

Если функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет или воз­рас­та­ет, то ра­вен­ство функ­ций и ра­вен­ство ар­гу­мен­тов рав­но­силь­ны: 

Вер­нем­ся к на­чаль­ным обо­зна­че­ни­ям и сфор­му­ли­ру­ем утвер­жде­ние.

 

 2. Утверждение 1

Каж­дый ко­рень  урав­не­ния (2) такой, что  яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния (1).

Воз­ни­ка­ет во­прос, все­гда ли, решив урав­не­ние (2), мы по­лу­чим все ре­ше­ния урав­не­ний (1).

 3. Утверждение 2

Если  мо­но­тон­на, то . То есть, мно­же­ство кор­ней сов­па­да­ет.

Если  не мо­но­тон­на, то . То есть, решив урав­не­ние (2), по­лу­чим часть ре­ше­ний урав­не­ния (1).

 4. Пример 3

Зна­чит, из ра­вен­ства функ­ций сле­ду­ет ра­вен­ство ар­гу­мен­тов:

 

Эти урав­не­ния рав­но­силь­ны.

Ответ: 

 5. Пример 4

Это урав­не­ние вида (1), где 

Зна­чит, урав­не­ния рав­но­силь­ны:

Из ра­вен­ства функ­ций сле­ду­ет ра­вен­ство ар­гу­мен­тов, и на­о­бо­рот. Мы по­лу­чи­ли пол­ное мно­же­ство ре­ше­ний, так как функ­ция  мо­но­тон­на.

Ответ:

Рас­смот­рим при­ме­ры с не мо­но­тон­ны­ми функ­ци­я­ми.

 6. Пример 5

 не мо­но­тон­на.

 – одно из ре­ше­ний, так как ре­ше­ни­ем та­ко­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся .

Ответ:

 7. Пример 6

 не мо­но­тон­на

один из кор­ней

Ответ:

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ния урав­не­ний вида  

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/obschie-metody-resheniya-uravneniy

http://www.youtube.com/watch?v=3jNN5D81rr0

http://www.youtube.com/watch?v=t1EM3BDEl10

http://www.youtube.com/watch?v=_RGY1XMJI6k

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-logarifmicheskie-uravneniya.pptx

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы