11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность уравнений.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность уравнений.

Областью определения уравнения f(x)=g(x) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют ...

Комментарии преподавателя

 1. Определение равносильности

Опре­де­ле­ние 1.

Два урав­не­ния с одной пе­ре­мен­ной

    

на­зы­ва­ют­ся рав­но­силь­ны­ми, если мно­же­ство их кор­ней сов­па­да­ет.

На­при­мер, если в пер­вом един­ствен­ный ко­рень , во вто­ром тоже един­ствен­ный ко­рень , то эти урав­не­ния рав­но­силь­ны.

Это очень важ­ное по­ня­тие. В про­цес­се ре­ше­ния мы пы­та­ем­ся за­ме­нить более слож­ные урав­не­ния более про­сты­ми, но рав­но­силь­ны­ми (эк­ви­ва­лент­ны­ми).

 2. Примеры

При­мер:

1.                                  ó        2) 

                          

Ответ:                                  

Ответ: 

Урав­не­ния 1 и 2 на­зы­ва­ют­ся рав­но­силь­ны­ми.

Рас­смот­рим важ­ный част­ный слу­чай. Если пер­вое урав­не­ние не имеет кор­ней и вто­рое урав­не­ние не имеет кор­ней, то дан­ные урав­не­ния мы счи­та­ем рав­но­силь­ны­ми. Мно­же­ство их ре­ше­ний сов­па­да­ет – это пу­стое мно­же­ство.

 3. Определение следствия

Опре­де­ле­ние 2:

Если каж­дый ко­рень урав­не­ния 

Яв­ля­ет­ся и кор­нем урав­не­ния , то урав­не­ние 2 на­зы­ва­ют след­стви­ем из урав­не­ния 1. Обо­зна­ча­ют это сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Пред­по­ло­жим, что пер­вое урав­не­ние имеет корни , вто­рое урав­не­ние имеет корни . Тогда из пер­во­го урав­не­ния сле­ду­ет вто­рое.

В чем важ­ность этого опре­де­ле­ния?

При ре­ше­нии урав­не­ния ис­ход­ное урав­не­ние за­ме­ня­ет­ся более про­стым, важно не по­те­рять мно­же­ство кор­ней ис­ход­но­го урав­не­ния, а ненуж­ные корни можно потом от­бро­сить про­вер­кой.

 4. Утверждение

Утвер­жде­ние:

Два урав­не­ния рав­но­силь­ны тогда и толь­ко тогда, когда каж­дое из них яв­ля­ет­ся след­стви­ем дру­го­го.

                     

При прак­ти­че­ском ре­ше­нии урав­не­ний важно сле­дить за их эк­ви­ва­лент­но­стью (рав­но­силь­но­стью).

Рав­но­силь­ность га­ран­ти­ру­ют неко­то­рые тео­ре­мы.

 5. Теорема 1

Тео­ре­ма 1:

Рав­но­силь­ность со­хра­нит­ся, если любой член урав­не­ния пе­ре­не­сти в дру­гую часть с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком.

 6. Теорема 2

Тео­ре­ма 2:

Имеем урав­не­ние. Можно воз­ве­сти обе части в нечет­ную сте­пень, при этом га­ран­ти­ру­ет­ся со­хра­не­ние рав­но­силь­но­сти урав­не­ний.

 7. Теорема 3

Тео­ре­ма 3:

 8. Теорема 4

Тео­ре­ма 4:

Где 

При ре­ше­нии урав­не­ний часто при­хо­дит­ся воз­во­дить в чет­ную сте­пень. Со­хра­нит­ся ли при этом эк­ви­ва­лент­ность?

 9. Теорема 5

Тео­ре­ма 5:

Если  при  из ОДЗ, то

 10. Теорема 6

Тео­ре­ма 6:

 

Мы рас­смот­ре­ли тео­рию рав­но­силь­но­сти урав­не­ний. 

 Часть вторая. 1. Типовая ошибка 1. Неверное освобождение от знаменателя. Пример 1

Рас­ши­ре­ние ОДЗ

К по­яв­ле­нию лиш­них кор­ней ведет рас­ши­ре­ние об­ла­сти до­пу­сти­мых зна­че­ний. Но когда же эта об­ласть рас­ши­ря­ет­ся? Ти­по­вые ошиб­ки:

Невер­ное осво­бож­де­ние от зна­ме­на­те­ля.

Про­де­мон­стри­ру­ем на кон­крет­ном при­ме­ре.

При­мер 1.

Ре­шить урав­не­ние 

Невер­ное ре­ше­ние:

Умно­жить обе части на , по­лу­чить ра­вен­ство чис­ли­те­лей и ре­шить про­стей­шее урав­не­ние .

«Ответ»: 

По­че­му это ре­ше­ние не верно?

ПО су­ще­ству мы обе части урав­не­ния умно­жи­ли на , а, когда , это вы­ра­же­ние равно нулю. В этом ре­ше­нии это важ­ное об­сто­я­тель­ство не учте­но. Имеем невер­ный ответ и невер­ное ре­ше­ние. При­ве­дем вер­ное ре­ше­ние:

Вер­ное ре­ше­ние:

Можно вер­ное ре­ше­ние офор­мить по-раз­но­му. НО глав­ное – учесть ОДЗ.

Рас­смот­рим ис­ход­ное урав­не­ние  Оно рав­но­силь­но сле­ду­ю­щей си­сте­ме:

 

Ответ: Ре­ше­ний НЕТ.

Сде­ла­ем ком­мен­та­рий к невер­но­му ре­ше­нию и к вер­но­му. Невер­ное ре­ше­ние можно было про­дол­жить и про­ве­рить. Ока­жет­ся, что по­лу­чен­ное ре­ше­ние  не под­хо­дит. В слу­чае когда важна эк­ви­ва­лент­ность, прин­ци­пи­аль­ной необ­хо­ди­мо­сти в про­вер­ке нет. Итак, мы по­лу­чи­ли невер­ное ре­ше­ние и при­ве­ли вер­ное ре­ше­ние. Еще раз от­ме­тим: осво­бож­де­ние от зна­ме­на­те­ля ведет к рас­ши­ре­нию ОДЗ и яв­ля­ет­ся часто ошиб­кой. Имен­но пер­вый при­мер нам по­ка­зал, что мы по­лу­чи­ли ре­ше­ние  то есть раз­де­ли­ли на нуль. Вер­ное ре­ше­ние – это учет ОДЗ.

 2. Типовая ошибка 2. Возведения в четную степень. Пример 2

Рас­смот­рим опе­ра­цию воз­ве­де­ния в чет­ную сте­пень и свя­зан­ные с этим опас­но­сти и ти­по­вые ошиб­ки. Сде­ла­ем это на при­ме­ре урав­не­ния.

При­мер 2.

Ре­шить урав­не­ние:  

Речь идет о том, можно ли воз­ве­сти в квад­рат и что при этом про­ис­хо­дит.

Невер­ное ре­ше­ние:

«Ответ»:

Где здесь ошиб­ка?

Мы рас­ши­ри­ли ОДЗ. По­то­му что в урав­не­нии до­пус­ка­лись не все  а в урав­не­нии до­пус­ка­ют­ся все . Зна­чит, воз­мож­но, мы по­лу­чи­ли по­сто­рон­ние корни. Ясно, что если бы мы про­ве­ри­ли корни а это нужно сде­лать,  не по­до­шел бы.

Ошиб­ка в на­ру­ше­нии важ­ной тео­ре­мы, ко­то­рая го­во­ри­ла, что в чет­ную сте­пень обе части урав­не­ния можно воз­ве­сти и со­хра­нить эк­ви­ва­лент­ность, если они не от­ри­ца­тель­ны. А здесь мы это не учли. На­при­мер, ко­рень  не по­дой­дет. Можно было бы под­ста­вить этот ко­рень и уви­деть, что ко­рень квад­рат­ный не может быть равен . С уче­том этого при­ве­дем вер­ное ре­ше­ние.

Вер­ное ре­ше­ние:

Ис­поль­зу­ем из­вест­ную вер­ную схему:

Ответ: 

Важ­ная осо­бен­ность:  вхо­дит в ОДЗ, но это по­сто­рон­ний ко­рень. И это важ­ная осо­бен­ность при воз­ве­де­нии в квад­рат.

 3. Типовая ошибка 3. Операция освобождения от логарифма. Пример 3

Об­су­дим еще один ис­точ­ник воз­ник­но­ве­ния ти­по­вых оши­бок – опе­ра­цию осво­бож­де­ния от ло­га­риф­мов.

Под­черк­нем, что тут нет рав­но­силь­но­сти.

Ре­шить урав­не­ние:

Ре­ше­ние:

Ис­ход­ное урав­не­ние ре­ше­но рав­но­силь­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми.

Ответ: 

Итак, мы рас­смот­ре­ли при­ме­ры, когда об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний рас­ши­ря­ет­ся, рас­смот­ре­ли ти­по­вые ошиб­ки при этом. 

 Часть третья. 1. Напоминание

На­по­ми­на­ние:

 (2)

Урав­не­ния (1) и (2) – рав­но­силь­ны, то есть мно­же­ство их кор­ней сов­па­да­ет.

 (2)

                 

Урав­не­ние (2) яв­ля­ет­ся след­стви­ем урав­не­ния (1). При про­вер­ке можно лиш­ние корни от­сечь.

Лиш­ние корни воз­ни­ка­ют при рас­ши­ре­нии ОДЗ. Си­ту­а­ция будет хуже, если про­изой­дет суже­ние ОДЗ. Такие слу­чаи мы и рас­смот­рим.

 2. Сужение ОДЗ, Пример 1

Най­дем ОДЗ для левой части:

 (Рис. 1)

Рис. 1. ОДЗ для левой части

Рис. 2. ОДЗ для пра­вой части 

ОДЗ для пра­вой части:

 (Рис. 2)

Все корни из 3-й чет­вер­ти по­те­ря­ны. Сле­до­ва­тель­но, даже при при­ме­не­нии из­вест­ных фор­мул, можно сузить ОДЗ.

 3. Пример 2

Для того чтобы это не про­ис­хо­ди­ло, эту фор­му­лу нужно при­ме­нять в сле­ду­ю­щем виде:

ОДЗ для левой части:

 (Рис. 1)

ОДЗ для пра­вой части:

 (Рис. 3)

Рис. 3. ОДЗ для пра­вой части 

То есть ОДЗ рас­ши­ри­лась. При рас­ши­ре­нии ОДЗ могут воз­ник­нуть лиш­ние корни, ко­то­рые можно устра­нить про­вер­кой.

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щий при­мер.

Най­дем ОДЗ для пра­вой части:

 (Рис. 4)

Рис. 4. ОДЗ для пра­вой части 

ОДЗ для левой части:

 (Рис. 5)

Рис. 5. ОДЗ для левой части 

То есть ОДЗ сузи­лась, все корни, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию , могут быть по­те­ря­ны.

Пре­об­ра­зу­ем дан­ную фор­му­лу сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Тогда ОДЗ левой и пра­вой части будут сов­па­дать: .

 4. Конкретное уравнение

Рас­смот­рим кон­крет­ное урав­не­ние:

ОДЗ:  (Рис. 4)

Невер­ное ре­ше­ние:

ОДЗ:

Ответ: .

Мы по­те­ря­ли ко­рень  из-за суже­ния ОДЗ.

Ответ: .

Про­дол­жим изу­че­ние слу­ча­ев, когда про­ис­хо­дит суже­ние ОДЗ и, сле­до­ва­тель­но, по­те­ря кор­ней.

 5. Пример 3

Най­дем ОДЗ пра­вой части:

 (Рис. 6)

Рис. 6. ОДЗ пра­вой части

 ОДЗ левой части:

 (Рис. 7)

Рис. 7. ОДЗ левой части

Чтобы не до­пу­стить по­те­ри кор­ней, пре­об­ра­зу­ем фор­му­лу сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

ОДЗ пра­вой части оста­лось неиз­мен­ным (Рис. 6).

 6. Пример 4

Най­дем ОДЗ левой части:

 (Рис. 8)

Рис. 8. ОДЗ левой части

Про­изо­шло рас­ши­ре­ние ОДЗ, то есть воз­мож­ное при­об­ре­те­ние до­пол­ни­тель­ных кор­ней.

Еще один слу­чай суже­ния ОДЗ – это де­ле­ние на  или на вы­ра­же­ние, ко­то­рое его со­дер­жит. Рас­смот­рим кон­крет­ный при­мер.

Невер­ное ре­ше­ние:

Пусть .

Ответ: .

Вер­ное ре­ше­ние:

Ответ: .

Мы рас­смот­ре­ли ос­нов­ные слу­чаи суже­ния ОДЗ. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/ravnosilnost-uravneniy

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/ravnosilnost-uravneniy-prodolzhenie

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/ravnosilnost-uravneniy-primery

http://www.youtube.com/watch?v=rlg0JFYvuIM

http://www.youtube.com/watch?v=h7uRBy-jXLE

http://www.youtube.com/watch?v=vYcLYbabg_Y

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/11-klass-ravnosilnost-uravneniy.pptx

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

 

 

Файлы