11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется ...

Комментарии преподавателя

 1. Идея и методы решения задач, приводящих к понятию определенных интегралов

Пер­вая за­да­ча. За­да­ча о пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции.

Вто­рая за­да­ча. За­да­ча о массе неод­но­род­но­го стерж­ня.

Тре­тья за­да­ча. За­да­ча о пе­ре­ме­ще­нии точки.

Мы рас­смот­рим идею и метод для ре­ше­ния этих задач.

 2. Задача 1

Пер­вая за­да­ча. (О пло­ща­ди  кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции)

Фор­му­ли­ру­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ную ли­ни­я­ми:  на от­рез­ке ,

 – ось . Найти пло­щадь . Осо­бен­ность за­клю­ча­ет­ся в том, что верх­няя линия в кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции за­да­ет­ся функ­ци­ей. Идея ме­то­да – раз­бить от­ре­зок  на опре­де­лен­ные ма­лень­кие от­рез­ки и счи­тать пло­ща­ди каж­до­го пря­мо­уголь­ни­ка (рис. 1).

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к пер­вой за­да­че

Рас­смот­рим по­дроб­но пер­вое дей­ствие. А имен­но раз­би­е­ние от­рез­ка  на  рав­ных ча­стей. От­ре­зок  раз­би­ва­ет­ся на  рав­ных ча­стей точ­ка­ми  .

Ве­ли­чи­на .

Важно от­ме­тить осо­бен­но­сти по­стро­е­ния. Если , неза­ви­си­мо от того, разо­бьем мы от­ре­зок на 100, 200 или боль­ше ча­стей.

Вто­рое дей­ствие. За­фик­си­ру­ем  и при­бли­жен­но най­дем пло­щадь в

Как мы это сде­ла­ем? Пло­щадь ис­ко­мой кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции за­ме­ним по­сту­пен­частой ли­ни­ей. Зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [] мы за­ме­ним зна­че­ни­ем функ­ции в левом конце . Таким об­ра­зом, мы имеем пря­мо­уголь­ни­ки. У них оди­на­ко­вые ос­но­ва­ния. А вы­со­та – зна­че­ния функ­ции в левом конце.

Пло­щадь пер­во­го пря­мо­уголь­ни­ка .

Пло­щадь вто­ро­го пря­мо­уголь­ни­ка .

И так далее.

Таким об­ра­зом, мы раз­би­ли пло­щадь на от­дель­ные пря­мо­уголь­ни­ки, со­счи­та­ли пло­щадь каж­до­го пря­мо­уголь­ни­ка и сум­ми­ру­ем эти пло­ща­ди, по­лу­ча­ем:

. Итак, при фик­си­ро­ван­ном  при­мер­ное зна­че­ние функ­ции мы имеем. Но это при­мер­ное. Как по­лу­чить точ­ное?

Устре­мим . Тогда сту­пен­ча­тая ло­ма­ная будет стре­мить­ся за­нять по­ло­же­ние функ­ции . И сумма  будет стре­мить­ся к ис­ко­мой пло­ща­ди. Более точно: .

 3. Задача 2

Вто­рая за­да­ча. (О вы­чис­ле­нии массы  неод­но­род­но­го стерж­ня ).

Стер­жень неод­но­род­ный. Раз­ме­стим его в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция ко вто­рой за­да­че

Нам дано: Плот­ность .

Найти: Массу стерж­ня.

Рас­смот­рим част­ный слу­чай, когда стер­жень од­но­род­ный (). Тогда масса стерж­ня легко счи­та­ет­ся. . Но у нас стер­жень неод­но­род­ный, ве­ли­чи­на  – непо­сто­ян­ная, надо найти массу та­ко­го стерж­ня. Метод ре­ше­ния этой за­да­чи ана­ло­ги­чен ме­то­ду ре­ше­ния, ко­то­рый мы ис­поль­зо­ва­ли в пер­вой за­да­че. А имен­но: раз­би­е­ние стерж­ня на  рав­ных ча­стей с почти оди­на­ко­вой плот­но­стью  на от­рез­ке . Но массу стерж­ня здесь мы умеем счи­тать . Таким об­ра­зом, раз­би­ли стер­жень и умеем счи­тать массу каж­до­го ма­лень­ко­го от­рез­ка этого стерж­ня. Далее, как и в пер­вой за­да­че, про­ве­дем необ­хо­ди­мые вы­чис­ле­ния на каж­дом от­рез­ке.

;

;

………………

.

Скла­ды­ва­ем, по­лу­ча­ем:

.

Ясно, что мы по­лу­чи­ли при­мер­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны. Точ­ность уве­ли­чи­ва­ет­ся, если уве­ли­чи­ва­ет­ся . Более точно:

 4. Задача 3

Тре­тья за­да­ча (о пе­ре­ме­ще­нии точки)

Дано: ско­рость точки .

Найти: длину пути .

Суть за­да­чи за­клю­ча­ет­ся в том, что по ско­ро­сти надо найти длину пути.

На­при­мер, мы едем на ма­шине, ско­рость в каж­дый мо­мент вре­ме­ни мы знаем. Нужно вы­чис­лить путь.

Ре­ше­ние.

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к тре­тьей за­да­че

Раз­би­ва­ем от­ре­зок на  рав­ных от­рез­ков ;

Далее вы­чис­ля­ем путь на каж­дом из от­рез­ков

;

;

………………

.

Если от­ре­зок ма­лень­кий, то зна­че­ние ско­ро­сти – почти по­сто­ян­ная ве­ли­чи­на.

Сум­ми­ру­ем все пути:

. Более точно: .

 5. Одна математическая модель для трех задач

Итак, мы рас­смот­ре­ли три за­да­чи, ко­то­рые опи­сы­ва­ют­ся с по­мо­щью одной и той же ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли (рис. 4).

Рис. 4. Ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель

О пло­ща­ди  под кри­вой . Была дана функ­ция Нужно было найти пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции.

О массе стерж­ня . Здесь  – плот­ность. Тре­бо­ва­лось найти массу . Масса рав­ня­лась пло­ща­ди под этой кри­вой.

О пе­ре­ме­ще­нии точки. Была дана . Ско­рость из­вест­на в каж­дый мо­мент вре­ме­ни. Нужно было найти пе­ре­ме­ще­ние. Пе­ре­ме­ще­ние рав­ня­лось пло­ща­ди .

 6. Общий метод решения

То есть ре­ше­ние трех задач – это на­хож­де­ние дан­ной пло­ща­ди. На­пом­ним метод, с по­мо­щью ко­то­ро­го мы ре­ша­ли и пы­та­лись ре­шить каж­дую из трех задач.

Общий метод ре­ше­ния задач (рис. 5):

 

Рис. 5. Общий метод ре­ше­ния задач

Раз­би­е­ние от­рез­ка на  рав­ных от­рез­ков. Каж­дое Δоди­на­ко­вой длины.

Вы­чис­ле­ние . То есть вы­чис­ле­ние пло­ща­ди каж­до­го из пря­мо­уголь­ни­ков, пло­ща­ди под сту­пен­ча­той ли­ни­ей.

 

.

Если мы су­ме­ем найти пре­дел, то мы по­лу­чим ис­ко­мую пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции: .

Об­су­дим все же идею сум­ми­ро­ва­ния:

Вот мы на­хо­дим  и устрем­ля­ем . Но что это озна­ча­ет?

Каж­дый пря­мо­уголь­ник фик­си­ро­ван, если  – ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная. Фик­си­ро­ва­на вы­со­та и ос­но­ва­ние. Если , то сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка почти что равна нулю. И по­лу­ча­ет­ся, что мы скла­ды­ва­ем почти от­рез­ки. Во что же пре­вра­ща­ет­ся пря­мо­уголь­ник, если  почти равна нулю? Он пре­вра­ща­ет­ся почти в от­ре­зок. По­лу­ча­ет­ся, мы скла­ды­ва­ем бес­ко­неч­но много пло­ща­дей бес­ко­неч­но малых.

Можно за­дать во­прос: су­ще­ству­ет ли такой пре­дел таких сумм, ко­то­рые на­зы­ва­ют­ся ин­те­граль­ны­ми? На школь­ном уровне нам по­нят­но, что пре­дел су­ще­ству­ет из гео­мет­ри­че­ских со­об­ра­же­ний. И это пло­щадь под кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ци­ей. Осо­бую зна­чи­мость пред­став­ля­ет сам прин­цип бес­ко­неч­но­го раз­би­е­ния и сум­ми­ро­ва­ния бес­ко­неч­но­го числа бес­ко­неч­но малых пло­ща­дей. И в ре­зуль­та­те, рано или позд­но, мы по­лу­чим ис­ко­мую пло­щадь.

В част­ном слу­чае мы уже сей­час можем на­хо­дить пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ных тра­пе­ций.

 7. Частный случай

Дано: Кри­во­ли­ней­ная тра­пе­ция 

Найти:.

Ре­ше­ние.

Тра­пе­ция  за­да­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом (рис. 6):

Рис. 6. Тра­пе­ция ABCD

По­лу­окруж­ность с цен­тром в точке с ра­ди­у­сом 

Чтобы найти пло­щадь, нужно из пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка вы­честь пло­щадь по­ло­ви­ны круга. .

Ответ: 

Итак, мы рас­смот­ре­ли три за­да­чи, при­во­дя­щие к по­ня­тию опре­де­лен­но­го ин­те­гра­ла.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/integralb/zadachi-privodyaschie-k-ponyatiyu-opredelennogo-integrala

http://www.youtube.com/watch?v=xeugqco4tzQ

http://www.youtube.com/watch?v=0JaoWe0ZE_A

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-urok-zadanie-podvodyashie-k-ponyatiu-integral.pdf

 

 

Файлы