11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Комментарии преподавателя

1. Идея и методы решения задач, приводящих к понятию определенных интегралов

Первая задача. Задача о площади криволинейной трапеции.

Вторая задача. Задача о массе неоднородного стержня.

Третья задача. Задача о перемещении точки.

Мы рассмотрим идею и метод для решения этих задач.

2. Задача 1

Первая задача. (О площади криволинейной трапеции)

Формулируется следующим образом:

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: на отрезке ,

– ось . Найти площадь . Особенность заключается в том, что верхняя линия в криволинейной трапеции задается функцией. Идея метода – разбить отрезок на определенные маленькие отрезки и считать площади каждого прямоугольника (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к первой задаче

Рассмотрим подробно первое действие. А именно разбиение отрезка на равных частей. Отрезок разбивается на равных частей точками .

Величина .

Важно отметить особенности построения. Если , независимо от того, разобьем мы отрезок на 100, 200 или больше частей.

Второе действие. Зафиксируем и приближенно найдем площадь в

Как мы это сделаем? Площадь искомой криволинейной трапеции заменим поступенчастой линией. Значение функции на отрезке [] мы заменим значением функции в левом конце . Таким образом, мы имеем прямоугольники. У них одинаковые основания. А высота – значения функции в левом конце.

Площадь первого прямоугольника .

Площадь второго прямоугольника .

И так далее.

Таким образом, мы разбили площадь на отдельные прямоугольники, сосчитали площадь каждого прямоугольника и суммируем эти площади, получаем:

. Итак, при фиксированном примерное значение функции мы имеем. Но это примерное. Как получить точное?

Устремим . Тогда ступенчатая ломаная будет стремиться занять положение функции . И сумма будет стремиться к искомой площади. Более точно: .

3. Задача 2

Вторая задача. (О вычислении массы неоднородного стержня ).

Стержень неоднородный. Разместим его в координатной плоскости, как показано на рисунке.

Рис. 2. Иллюстрация ко второй задаче

Нам дано: Плотность , .

Найти: Массу стержня.

Рассмотрим частный случай, когда стержень однородный (). Тогда масса стержня легко считается. . Но у нас стержень неоднородный, величина – непостоянная, надо найти массу такого стержня. Метод решения этой задачи аналогичен методу решения, который мы использовали в первой задаче. А именно: разбиение стержня на равных частей с почти одинаковой плотностью на отрезке . Но массу стержня здесь мы умеем считать . Таким образом, разбили стержень и умеем считать массу каждого маленького отрезка этого стержня. Далее, как и в первой задаче, проведем необходимые вычисления на каждом отрезке.

;

………………

.

Складываем, получаем:

.

Ясно, что мы получили примерное значение искомой величины. Точность увеличивается, если увеличивается , . . Более точно:

4. Задача 3

Третья задача (о перемещении точки)

Дано: скорость точки .

Найти: длину пути .

Суть задачи заключается в том, что по скорости надо найти длину пути.

Например, мы едем на машине, скорость в каждый момент времени мы знаем. Нужно вычислить путь.

Решение.

Рис. 3. Иллюстрация к третьей задаче

Разбиваем отрезок на равных отрезков ;

Далее вычисляем путь на каждом из отрезков

;

………………

.

Если отрезок маленький, то значение скорости – почти постоянная величина.

Суммируем все пути:

. Более точно: .

5. Одна математическая модель для трех задач

Итак, мы рассмотрели три задачи, которые описываются с помощью одной и той же математической модели (рис. 4).

Рис. 4. Математическая модель

О площади под кривой . Была дана функция Нужно было найти площадь криволинейной трапеции.

О массе стержня . Здесь – плотность. Требовалось найти массу . Масса равнялась площади под этой кривой.

О перемещении точки. Была дана . Скорость известна в каждый момент времени. Нужно было найти перемещение. Перемещение равнялось площади : .

6. Общий метод решения

То есть решение трех задач – это нахождение данной площади. Напомним метод, с помощью которого мы решали и пытались решить каждую из трех задач.

Общий метод решения задач (рис. 5):

Рис. 5. Общий метод решения задач

Разбиение отрезка на равных отрезков. Каждое Δx одинаковой длины.

Вычисление . То есть вычисление площади каждого из прямоугольников, площади под ступенчатой линией.

.

Если мы сумеем найти предел, то мы получим искомую площадь криволинейной трапеции: .

Обсудим все же идею суммирования:

Вот мы находим и устремляем . Но что это означает?

Каждый прямоугольник фиксирован, если – величина постоянная. Фиксирована высота и основание. Если , то сторона прямоугольника почти что равна нулю. И получается, что мы складываем почти отрезки. Во что же превращается прямоугольник, если почти равна нулю? Он превращается почти в отрезок. Получается, мы складываем бесконечно много площадей бесконечно малых.

Можно задать вопрос: существует ли такой предел таких сумм, которые называются интегральными? На школьном уровне нам понятно, что предел существует из геометрических соображений. И это площадь под криволинейной трапецией. Особую значимость представляет сам принцип бесконечного разбиения и суммирования бесконечного числа бесконечно малых площадей. И в результате, рано или поздно, мы получим искомую площадь.

В частном случае мы уже сейчас можем находить площади криволинейных трапеций.