11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства.

Показательное уравнение aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾, ...

Комментарии преподавателя

 1. Определение и свойства показательной функции

Как пра­ви­ло, все типы по­ка­за­тель­ных урав­не­ний сво­дят­ся к про­стей­шим по­ка­за­тель­ным урав­не­ни­ям.

На­пом­ним ос­нов­ные свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции.

По­ка­за­тель­ная функ­ция – это функ­ция вида , где  и 

Рис. 1. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции

На гра­фи­ке по­ка­за­ны кри­вые, ил­лю­стри­ру­ю­щие по­ка­за­тель­ную функ­цию при ос­но­ва­нии боль­шем еди­ни­цы и мень­шем еди­ни­цы, но боль­шем нуля.

Обе кри­вые про­хо­дят через точку (0;1)

Свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции:

Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

Об­ласть зна­че­ний: ;

Функ­ция мо­но­тон­на, при  воз­рас­та­ет, при  убы­ва­ет.

Мо­но­тон­ная функ­ция при­ни­ма­ет каж­дое свое зна­че­ние при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та.

 2. Методика решения простейших показательных уравнений, пример

На­пом­ним, как ре­шать про­стей­шие по­ка­за­тель­ные урав­не­ния.

Ра­вен­ство по­ка­за­те­лей сте­пе­ни при рав­ных ос­но­ва­ни­ях обу­слов­ле­но свой­ством по­ка­за­тель­ной функ­ции, а имен­но ее мо­но­тон­но­стью.

Ме­то­ди­ка ре­ше­ния:

Урав­нять ос­но­ва­ния сте­пе­ней;

При­рав­нять по­ка­за­те­ли сте­пе­ней.

На­при­мер:

 3. Решение типовых показательных уравнений

По­ка­за­тель­ные урав­не­ния, сво­дя­щи­е­ся к квад­рат­но­му:

Урав­ня­ем ос­но­ва­ния сте­пе­ней в пра­вой и левой части:

По­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние:

Сле­ду­ю­щий тип урав­не­ний, когда по­ка­за­те­ли сте­пе­ни оди­на­ко­вые, а ос­но­ва­ния раз­ные:

Необ­хо­ди­мо урав­нять ос­но­ва­ния сте­пе­ни. Раз­де­лим обе части урав­не­ния на , имеем право это сде­лать т. к.  все­гда боль­ше нуля:

Ил­лю­стра­ция:

На ри­сун­ке 2 крас­ным по­ка­зан гра­фик функ­ции , чер­ным – гра­фик функ­ции , оче­вид­но, что гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся в един­ствен­ной точке при .

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щий тип урав­не­ний на при­ме­ре.

 (урав­не­ние 3)

Пред­ста­вим вто­рое сла­га­е­мое в левой части как про­из­ве­де­ние сте­пе­ней:

При­ве­дем по­доб­ные в левой части:

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к урав­не­нию с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми сте­пе­ни

Офор­мить ре­ше­ние урав­не­ния 3 можно иначе.

Вы­не­сем в левой части  за скоб­ки:

Еще один тип по­ка­за­тель­ных урав­не­ний:

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми сте­пе­ней для пре­об­ра­зо­ва­ния левой части:

Скла­ды­ва­ем ал­геб­ра­и­че­ски по­лу­чен­ные дроби:

Зна­ме­на­тель дан­ной дроби ни­ко­гда не равен нулю, чис­ли­тель при­рав­ни­ва­ем к нулю:

Дан­ное урав­не­ние можно было ре­шать иначе, для этого нужно было за­ме­тить, что в по­ка­за­те­ле сте­пе­ни вто­ро­го сла­га­е­мо­го можно вы­не­сти двой­ку за скоб­ки и по­лу­чить урав­не­ние с оди­на­ко­вы­ми по­ка­за­те­ля­ми сте­пе­ней.

Урав­не­ния, где пе­ре­мно­жа­ют­ся две сте­пе­ни с оди­на­ко­вым по­ка­за­те­лем.

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством сте­пе­ни:

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние ти­по­вых по­ка­за­тель­ных урав­не­ний. 

 Часть вторая. 1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений

На­пом­ним опре­де­ле­ние и ос­нов­ные свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции. Имен­но на свой­ствах ба­зи­ру­ет­ся ре­ше­ние всех по­ка­за­тель­ных урав­не­ний и нера­венств.

По­ка­за­тель­ная функ­ция – это функ­ция вида , где ос­но­ва­ние сте­пе­ни  и  Здесь х – неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, ар­гу­мент; у – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, функ­ция.

Рис. 1. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции

На гра­фи­ке по­ка­за­ны воз­рас­та­ю­щая и убы­ва­ю­щая экс­по­нен­ты, ил­лю­стри­ру­ю­щие по­ка­за­тель­ную функ­цию при ос­но­ва­нии боль­шем еди­ни­цы и мень­шем еди­ни­цы, но боль­шим нуля со­от­вет­ствен­но.

Обе кри­вые про­хо­дят через точку (0;1)

Свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции:

Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

Об­ласть зна­че­ний: ;

Функ­ция мо­но­тон­на, при  воз­рас­та­ет, при  убы­ва­ет.

Мо­но­тон­ная функ­ция при­ни­ма­ет каж­дое свое зна­че­ние при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та.

При  когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от минус до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция воз­рас­та­ет от нуля не вклю­чи­тель­но до плюс бес­ко­неч­но­сти. При  на­о­бо­рот, когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от минус до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция убы­ва­ет от бес­ко­неч­но­сти до нуля не вклю­чи­тель­но.

 2. Решение типовых показательных уравнений

На­пом­ним, как ре­шать про­стей­шие по­ка­за­тель­ные урав­не­ния. Их ре­ше­ние ос­но­ва­но на мо­но­тон­но­сти по­ка­за­тель­ной функ­ции. К таким урав­не­ни­ям сво­дят­ся прак­ти­че­ски все слож­ные по­ка­за­тель­ные урав­не­ния.

Ра­вен­ство по­ка­за­те­лей сте­пе­ни при рав­ных ос­но­ва­ни­ях обу­слов­ле­но свой­ством по­ка­за­тель­ной функ­ции, а имен­но ее мо­но­тон­но­стью.

Ме­то­ди­ка ре­ше­ния:

Урав­нять ос­но­ва­ния сте­пе­ней;

При­рав­нять по­ка­за­те­ли сте­пе­ней.

Пе­рей­дем к рас­смот­ре­нию более слож­ных по­ка­за­тель­ных урав­не­ний, наша цель – све­сти каж­дое из них к про­стей­ше­му.

При­мер 1:

Осво­бо­дим­ся от корня в левой части и при­ве­дем сте­пе­ни к оди­на­ко­во­му ос­но­ва­нию:

Для того чтобы све­сти слож­ное по­ка­за­тель­ное урав­не­ние к про­стей­шим, часто ис­поль­зу­ет­ся за­ме­на пе­ре­мен­ных.

При­мер 2:

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством сте­пе­ни:

Вво­дим за­ме­ну. Пусть , тогда . При такой за­мене оче­вид­но, что у при­ни­ма­ет стро­го по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. По­лу­ча­ем:

Умно­жим по­лу­чен­ное урав­не­ние на два и пе­ре­не­сем все сла­га­е­мые в левую часть:

Пер­вый ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет про­ме­жут­ку зна­че­ний у, от­бра­сы­ва­ем его. По­лу­ча­ем:

При­мер 3:

При­ве­дем сте­пе­ни к оди­на­ко­во­му по­ка­за­те­лю:

Вво­дим за­ме­ну:

Пусть , тогда . При такой за­мене оче­вид­но, что у при­ни­ма­ет стро­го по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния. По­лу­ча­ем:

Ре­шать по­доб­ные квад­рат­ные урав­не­ния мы умеем, вы­пи­шем ответ:

Чтобы удо­сто­ве­рить­ся в пра­виль­но­сти на­хож­де­ния кор­ней, можно вы­пол­нить про­вер­ку по тео­ре­ме Виета, т. е. найти сумму кор­ней и их про­из­ве­де­ние и све­рить с со­от­вет­ству­ю­щи­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми урав­не­ния.

По­лу­ча­ем:

 3. Методика решения однородных показательных уравнений второй степени

Изу­чим сле­ду­ю­щий важ­ный тип по­ка­за­тель­ных урав­не­ний:

Урав­не­ния та­ко­го типа на­зы­ва­ют од­но­род­ны­ми вто­рой сте­пе­ни от­но­си­тель­но функ­ций f и g. В левой его части стоит квад­рат­ный трех­член от­но­си­тель­но f с па­ра­мет­ром g или квад­рат­ный трех­член от­но­си­тель­но g с па­ра­мет­ром f.

Ме­то­ди­ка ре­ше­ния:

Дан­ное урав­не­ние можно ре­шать как квад­рат­ное, но легче по­сту­пить по-дру­го­му. Сле­ду­ет рас­смот­реть два слу­чая:

1. 

2.

В пер­вом слу­чае по­лу­ча­ем

Во вто­ром слу­чае имеем право раз­де­лить на стар­шую сте­пень  и по­лу­ча­ем:

Сле­ду­ет вве­сти за­ме­ну пе­ре­мен­ных , по­лу­чим квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но у:

Об­ра­тим вни­ма­ние, что функ­ции f и g могут быть лю­бы­ми, но нас ин­те­ре­су­ет тот слу­чай, когда это по­ка­за­тель­ные функ­ции.

 4. Примеры решения однородных уравнений

При­мер 4:

Пе­ре­не­сем все сла­га­е­мые в левую часть урав­не­ния:

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми сте­пе­ни и при­ве­дем все сте­пе­ни к про­стым ос­но­ва­ни­ям:

Неслож­но за­ме­тить функ­ции f и g: 

По­сколь­ку по­ка­за­тель­ные функ­ции при­об­ре­та­ют стро­го по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, имеем право сразу де­лить урав­не­ние на , не рас­смат­ри­вая слу­чай, когда :

По­лу­ча­ем:

Вво­дим за­ме­ну:  (со­глас­но свой­ствам по­ка­за­тель­ной функ­ции)

По­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние:

Опре­де­ля­ем корни по тео­ре­ме Виета:

Пер­вый ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет про­ме­жут­ку зна­че­ний у, от­бра­сы­ва­ем его, по­лу­ча­ем:

При­мер 5:

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми сте­пе­ни и при­ве­дем все сте­пе­ни к про­стым ос­но­ва­ни­ям:

Неслож­но за­ме­тить функ­ции f и g: 

По­сколь­ку по­ка­за­тель­ные функ­ции при­об­ре­та­ют стро­го по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, имеем право сразу де­лить урав­не­ние на , не рас­смат­ри­вая слу­чай, когда :

По­лу­ча­ем:

Вво­дим за­ме­ну:  (со­глас­но свой­ствам по­ка­за­тель­ной функ­ции)

По­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние:

Опре­де­ля­ем корни:

Пер­вый ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет про­ме­жут­ку зна­че­ний у, от­бра­сы­ва­ем его, по­лу­ча­ем:

 5. Решение системы показательных уравнений

Ре­ше­ние от­дель­ных по­ка­за­тель­ных урав­не­ний яв­ля­ет­ся клю­чом к ре­ше­нию си­стем по­ка­за­тель­ных урав­не­ний.

При­мер 6 – ре­шить си­сте­му:

В обоих урав­не­ни­ях при­ве­дем ос­но­ва­ния сте­пе­ней к про­стым чис­лам:

По­лу­чи­ли си­сте­му двух ли­ней­ных урав­не­ний от­но­си­тель­но двух неиз­вест­ных, такие си­сте­мы мы умеем ре­шать, на­при­мер, ме­то­дом под­ста­нов­ки:

Ответ: (1;3)

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние раз­но­об­раз­ных слож­ных по­ка­за­тель­ных урав­не­ний, вы­ве­ли ме­то­ди­ки их све­де­ния к про­стей­шим по­ка­за­тель­ным урав­не­ни­ям. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnye-uravneniya

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnye-uravneniya-bolee-slozhnye-sluchai

http://www.youtube.com/watch?v=S45uMRzxz-w

http://www.youtube.com/watch?v=JbkKC610l88

http://www.youtube.com/watch?v=t1EM3BDEl10

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-pokazatelnie-uravneniya-i-neravenstva.pptx

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

http://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/pokazatelnaia-i-logarifmicheskaia-funktcii-9160/pokazatelnye-uravneniia-10962

Файлы