11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства.
11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства.
Комментарии преподавателя
1. Определение и свойства показательной функции
Как правило, все типы показательных уравнений сводятся к простейшим показательным уравнениям.
Напомним основные свойства показательной функции.
Показательная функция – это функция вида 
, где 
и 
Рис. 1. График показательной функции
На графике показаны кривые, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большем нуля.
Обе кривые проходят через точку (0;1)
Свойства показательной функции:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция монотонна, при 
возрастает, при 
убывает.
Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.
2. Методика решения простейших показательных уравнений, пример
Напомним, как решать простейшие показательные уравнения.
Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.
Методика решения:
Уравнять основания степеней;
Приравнять показатели степеней.
Например:
3. Решение типовых показательных уравнений
Показательные уравнения, сводящиеся к квадратному:
Уравняем основания степеней в правой и левой части:
Получаем квадратное уравнение:
Следующий тип уравнений, когда показатели степени одинаковые, а основания разные:
Необходимо уравнять основания степени. Разделим обе части уравнения на 
, имеем право это сделать т. к. всегда больше нуля:
Иллюстрация:
На рисунке 2 красным показан график функции 
, черным – график функции 
, очевидно, что графики пересекаются в единственной точке при .
Рассмотрим следующий тип уравнений на примере.
(уравнение 3)
Представим второе слагаемое в левой части как произведение степеней:
Приведем подобные в левой части:
Рис. 2. Иллюстрация к уравнению с одинаковыми основаниями степени
Оформить решение уравнения 3 можно иначе.
Вынесем в левой части за скобки:
Еще один тип показательных уравнений:
Воспользуемся свойствами степеней для преобразования левой части:
Складываем алгебраически полученные дроби:
Знаменатель данной дроби никогда не равен нулю, числитель приравниваем к нулю:
Данное уравнение можно было решать иначе, для этого нужно было заметить, что в показателе степени второго слагаемого можно вынести двойку за скобки и получить уравнение с одинаковыми показателями степеней.
Уравнения, где перемножаются две степени с одинаковым показателем.
Воспользуемся свойством степени:
Итак, мы рассмотрели решение типовых показательных уравнений.
Часть вторая. 1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений
Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.
Показательная функция – это функция вида 
, где основание степени 
и 
Здесь х – независимая переменная, аргумент; у – зависимая переменная, функция.
Рис. 1. График показательной функции
На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.
Обе кривые проходят через точку (0;1)
Свойства показательной функции:
Область определения: 
;
Область значений: 
;
Функция монотонна, при 
возрастает, при 
убывает.
Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.
При 
когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.
2. Решение типовых показательных уравнений
Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.
Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.
Методика решения:
Уравнять основания степеней;
Приравнять показатели степеней.
Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель – свести каждое из них к простейшему.
Пример 1:
Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:
Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.
Пример 2:
Воспользуемся свойством степени:
Вводим замену. Пусть 
, тогда 
. При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:
Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:
Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:
Пример 3:
Приведем степени к одинаковому показателю:
Вводим замену:
Пусть 
, тогда 
. При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:
Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:
Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.
Получаем:
3. Методика решения однородных показательных уравнений второй степени
Изучим следующий важный тип показательных уравнений:
Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.
Методика решения:
Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:
1. 
2.
В первом случае получаем
Во втором случае имеем право разделить на старшую степень 
и получаем:
Следует ввести замену переменных 
, получим квадратное уравнение относительно у:
Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.
4. Примеры решения однородных уравнений
Пример 4:
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:
Несложно заметить функции f и g: 
Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда 
:
Получаем:
Вводим замену: 
(согласно свойствам показательной функции)
Получили квадратное уравнение:
Определяем корни по теореме Виета:
Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:
Пример 5:
Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:
Несложно заметить функции f и g: 
Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :
Получаем:
Вводим замену: 
(согласно свойствам показательной функции)
Получили квадратное уравнение:
Определяем корни:
Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:
5. Решение системы показательных уравнений
Решение отдельных показательных уравнений является ключом к решению систем показательных уравнений.
Пример 6 – решить систему:
В обоих уравнениях приведем основания степеней к простым числам:
Получили систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных, такие системы мы умеем решать, например, методом подстановки:
Ответ: (1;3)
Итак, мы рассмотрели решение разнообразных сложных показательных уравнений, вывели методики их сведения к простейшим показательным уравнениям.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnye-uravneniya
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnye-uravneniya-bolee-slozhnye-sluchai
http://www.youtube.com/watch?v=S45uMRzxz-w
http://www.youtube.com/watch?v=JbkKC610l88
http://www.youtube.com/watch?v=t1EM3BDEl10
http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-pokazatelnie-uravneniya-i-neravenstva.pptx
http://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/pokazatelnaia-i-logarifmicheskaia-funktcii-9160/pokazatelnye-uravneniia-10962