11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

Комментарии преподавателя

 Степень с рациональным показателем, определение, свойства, пример задачи

На­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние.

Сте­пе­нью неот­ри­ца­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным по­ло­жи­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число .

Сте­пе­нью по­ло­жи­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число .

Для  вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство:

На­при­мер:  не су­ще­ству­ет по опре­де­ле­нию; .

На­пом­ним свой­ства сте­пе­ни с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем:

Здесь , s и r – ра­ци­о­наль­ные числа;

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Пе­ре­хо­дим к ре­ше­нию ти­по­вых задач.

При­мер 1 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Раз­ло­жим чис­ли­тель на мно­жи­те­ли:

.

Чтобы со­кра­тить по­лу­чен­ную дробь, ука­жем огра­ни­че­ние:

.

Кроме того, ука­жем ОДЗ по опре­де­ле­нию сте­пе­ни с ра­ци­о­наль­ным по­ло­жи­тель­ным по­ка­за­те­лем: .

По­лу­ча­ем:

 Степенная функция, теоретические положения

Рас­смот­рим сте­пен­ную функ­цию с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем, кон­крет­но нас ин­те­ре­су­ют слу­чаи с неце­лым по­ка­за­те­лем, т. к. функ­ции с целым по­ка­за­те­лем мы уже изу­чи­ли ранее.

:

1. 

2. 

На­при­мер: , по опре­де­ле­нию .

Срав­ним гра­фи­ки функ­ций  и  (Рис. 1).

Рис. 1. Гра­фи­ки функ­ций  и  (слева и спра­ва со­от­вет­ствен­но)

Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции  - , гра­фик из­ве­стен, он про­хо­дит через три фик­си­ро­ван­ные точки.

Для вто­рой функ­ции об­ласть опре­де­ле­ния – 

Раз­ли­чие функ­ций на­гляд­но по­ка­за­но на ри­сун­ке 1.

 Производная и первообразная степенной функции

Для каж­дой функ­ции нужно уметь на­хо­дить про­из­вод­ные, пер­во­об­раз­ные и ре­шать ти­по­вые за­да­чи на них. Мы рас­смот­рим, как на­хо­дить про­из­вод­ную и пер­во­об­раз­ную для сте­пен­ной функ­ции.

Про­из­вод­ная сте­пен­ной функ­ции:

.

Рас­смот­рим слож­ную функ­цию, когда в ра­ци­о­наль­ную сте­пень воз­во­дит­ся не про­сто х, а неко­то­рая функ­ция :

.

Неопре­де­лен­ный ин­те­грал:

 Решение типовых задач

Ти­по­вы­ми яв­ля­ют­ся за­да­чи на об­ласть зна­че­ний функ­ции.

При­мер 2 – найти об­ласть зна­че­ний функ­ции:

а) 

Функ­ция воз­рас­та­ет со­глас­но рас­смот­рен­ным ранее свой­ствам, до­ста­точ­но вы­чис­лить зна­че­ние функ­ции в кон­цах от­рез­ка:

Ответ: об­ласть зна­че­ний функ­ции на за­дан­ном ин­тер­ва­ле .

б) 

Функ­ция воз­рас­та­ет, т. к. яв­ля­ет­ся сум­мой двух воз­рас­та­ю­щих функ­ций, до­ста­точ­но вы­чис­лить зна­че­ние функ­ции в кон­цах от­рез­ка:

.

Ответ: об­ласть зна­че­ний функ­ции на за­дан­ном ин­тер­ва­ле .

При­мер 3 – найти наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции:

Ре­ше­ние:

Ис­сле­ду­ем без при­ме­не­ния про­из­вод­ной.

Ис­поль­зу­ем эле­мен­ты ме­то­да ин­тер­ва­лов. Най­дем ОДЗ: . Най­дем корни функ­ции, для этого раз­ло­жим вы­ра­же­ние в пра­вой части на мно­жи­те­ли и при­рав­ня­ем его к нулю:

Про­из­ве­де­ние равно нулю тогда и толь­ко тогда, когда хотя бы один из мно­жи­те­лей равен нулю, а вто­рой при этом су­ще­ству­ет, по­лу­ча­ем:

.

Итак, об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции раз­би­та на два ин­тер­ва­ла: [0; ] и () (рис. 2).

Рис. 2. Функ­ция 

Неслож­но за­ме­тить, что на пер­вом ин­тер­ва­ле функ­ция по­ло­жи­тель­на, а на вто­ром от­ри­ца­тель­на.

Итак, ис­сле­до­ва­ние гра­фи­ка без про­из­вод­ной дает нам сле­ду­ю­щие факты: при­мер­ный гра­фик функ­ции, ин­тер­ва­лы ее раз­би­е­ния на по­ло­жи­тель­ную и от­ри­ца­тель­ную часть. Если функ­ция по­ло­жи­тель­на, гра­фик на­хо­дит­ся над осью х, если от­ри­ца­тель­на – под осью.

Оче­вид­но, что наи­боль­ше­го сво­е­го зна­че­ния функ­ция до­сти­га­ет на пер­вом ин­тер­ва­ле.

Возь­мем про­из­вод­ную:

.

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю:

.

 – точка мак­си­му­ма, т. к. это един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка. До этой точки про­из­вод­ная – ве­ли­чи­на по­ло­жи­тель­ная, функ­ция воз­рас­та­ет, далее про­из­вод­ная ме­ня­ет знак, функ­ция убы­ва­ет.

При­мер 4 – най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми:

.

Дан­ная за­да­ча ре­ша­ет­ся с по­мо­щью пер­во­об­раз­ной (рис. 3).

Рис. 3. Гра­фик функ­ции  на за­дан­ном ин­тер­ва­ле

При­мер 5 – ре­шить урав­не­ние :

.

На­хо­дим про­из­вод­ную:

.

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю:

.

Вве­дем за­ме­ну:

.

По­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние:

.

На­хо­дим корни любым спо­со­бом, на­при­мер по тео­ре­ме Виета:

.

Вто­рой ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям, оста­ет­ся един­ствен­ный ответ:

.

Имеем:

.

Итак, мы по­вто­ри­ли тео­рию и рас­смот­ре­ли раз­лич­ные ти­по­вые за­да­чи на сте­пен­ные функ­ции с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/zadachi-na-stepennye-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem

http://www.youtube.com/watch?v=6XZA9p2iCzg

http://www.youtube.com/watch?v=V2Vk6DqELpk

http://www.youtube.com/watch?v=Jwz6rdS-RV4

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

http://www.studfiles.ru/preview/1839199/

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

 http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

 

Файлы