11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

Комментарии преподавателя

 Основные определения

На­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние.

Сте­пе­нью неот­ри­ца­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным по­ло­жи­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число .

Сте­пе­нью по­ло­жи­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число .

Для  вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство:

.

На­при­мер: 

Опре­де­ле­ние

Функ­ция с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем – это функ­ция вида , где . Ос­но­ва­ние сте­пе­ни х – ар­гу­мент дан­ной функ­ции, неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная; у – сама функ­ция, за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная.  – по­ка­за­тель сте­пе­ни, фик­си­ро­ван­ное ра­ци­о­наль­ное число.

На­при­мер:  и т. д.

 Функции с натуральным показателем

Вспом­ним част­ные слу­чаи, на­при­мер, когда по­ка­за­тель сте­пе­ни – на­ту­раль­ное число.

: (рис. 1)

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

По­ка­за­тель сте­пе­ни – чет­ное на­ту­раль­ное число, : (рис. 2)

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

Дан­ное се­мей­ство кри­вых про­хо­дит через три фик­си­ро­ван­ные точки: (0;0), (1;1), (-1;1).

Ос­нов­ное свой­ство этих функ­ций – чет­ность, их гра­фи­ки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но оси ОУ.

По­ка­за­тель сте­пе­ни – чет­ное на­ту­раль­ное число, : (рис. 3)

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

Дан­ное се­мей­ство кри­вых про­хо­дит через три фик­си­ро­ван­ные точки: (0;0), (1;1), (-1;-1);

Ос­нов­ное свой­ство этих функ­ций – нечет­ность, их гра­фи­ки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

 Функции с целым отрицательным показателем

Рас­смот­рим слу­чаи, когда по­ка­за­тель сте­пе­ни – целое от­ри­ца­тель­ное число.

При : (рис. 4)

Рис. 4. Гра­фик функ­ции 

Гра­фик дан­ной функ­ции про­хо­дит через две фик­си­ро­ван­ные точки: (1;1), (-1;-1).

При чет­ных n, : (рис. 5)

Рис. 5. Гра­фик функ­ции 

Все гра­фи­ки таких функ­ций про­хо­дят через две фик­си­ро­ван­ные точки: (1;1), (-1;1). Осо­бен­ность функ­ций дан­но­го вида – их чет­ность, гра­фи­ки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но оси ОУ.

При нечет­ных n, : (рис. 6)

Рис. 6. Гра­фик функ­ции 

Все гра­фи­ки таких функ­ций про­хо­дят через две фик­си­ро­ван­ные точки: (1;1), (-1;-1). Осо­бен­ность функ­ций дан­но­го вида – их нечет­ность, гра­фи­ки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

 Функция с рациональным положительным показателем, меньшим единицы, ее свойства

Пе­ре­хо­дим к функ­ци­ям с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лям, , рас­смот­рим слу­чаи, когда по­ка­за­тель сте­пе­ни мень­ше еди­ни­цы: .

На­при­мер: .

Итак, мы рас­смат­ри­ва­ем функ­ции .

Рис. 7. Гра­фик функ­ции 

Все кри­вые дан­но­го вида про­хо­дят через две фик­си­ро­ван­ные точки: (0;0), (1;1).

Рас­смот­рим ос­нов­ные свой­ства функ­ции с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем, когда он лежит в пре­де­лах от нуля до еди­ни­цы.

Рас­смот­рим под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние:

Дан­ная функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на своей об­ла­сти опре­де­ле­ния.

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щую функ­цию:

Дан­ная функ­ция также мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на своей об­ла­сти опре­де­ле­ния.

Таким об­ра­зом, изу­ча­е­мая функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет.

Об­ласть опре­де­ле­ния рас­смат­ри­ва­е­мой функ­ции: .

Функ­ция не огра­ни­че­на свер­ху, но огра­ни­че­на снизу, мак­си­маль­но­го зна­че­ния нет, ми­ни­маль­ное до­сти­га­ет­ся при .

Функ­ция непре­рыв­на, при­ни­ма­ет все неот­ри­ца­тель­ные зна­че­ния.

Функ­ция вы­пук­ла вверх.

На кри­вой взяты точки А и В, через них про­ве­ден от­ре­зок, вся кри­вая на­хо­дит­ся выше от­рез­ка, дан­ное усло­вие вы­пол­ня­ет­ся для про­из­воль­ных двух точек на кри­вой, сле­до­ва­тель­но функ­ция вы­пук­ла вверх (рис. 8).

Рис. 8. Вы­пук­лость функ­ции

 Функция с рациональным положительным показателем, большим единицы, ее свойства

Пе­рей­дем к слу­ча­ям, когда ра­ци­о­наль­ный по­ка­за­тель функ­ции боль­ше еди­ни­цы.

.

На­при­мер: 

, дан­ная функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на своей об­ла­сти опре­де­ле­ния, т. к. оба со­мно­жи­те­ля воз­рас­та­ют и по­ло­жи­тель­ны.

Чтобы по­нять, как про­хо­дит гра­фик дан­ной функ­ции, по­стро­им таб­ли­цу.

х

0

1

4

у

0

1

8

Рис. 9. Гра­фик функ­ции 

Гра­фи­ки дан­ных функ­ций про­хо­дят через две фик­си­ро­ван­ные точки – (2;0), (1;1).

Рас­смот­рим свой­ства функ­ций .

Об­ласть опре­де­ле­ния: .

Функ­ция воз­рас­та­ет на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния.

Функ­ция не огра­ни­че­на свер­ху, но огра­ни­че­на снизу, мак­си­маль­но­го зна­че­ния нет, ми­ни­маль­ное до­сти­га­ет­ся при .

Функ­ция непре­рыв­на, при­ни­ма­ет все неот­ри­ца­тель­ные зна­че­ния.

Функ­ция вы­пук­ла вниз.

На кри­вой взяты точки А и В, через них про­ве­ден от­ре­зок, вся кри­вая на­хо­дит­ся ниже от­рез­ка, дан­ное усло­вие вы­пол­ня­ет­ся для про­из­воль­ных двух точек на кри­вой, сле­до­ва­тель­но функ­ция вы­пук­ла вниз (рис. 10).

Рис. 10. Вы­пук­лость функ­ции.

Рас­смот­рим при­мер на свой­ства сте­пен­ной функ­ции с ра­ци­о­наль­ным по­ло­жи­тель­ным по­ка­за­те­лем.

 Решение примера

При­мер 1 – найти мно­же­ство зна­че­ний функ­ции:

.

По­сколь­ку функ­ция, как нам из­вест­но, мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, вы­чис­лим зна­че­ния в гра­нич­ных точ­ках, и ин­тер­вал зна­че­ний между ними и будет ис­ко­мое мно­же­ство зна­че­ний.

.

Ответ: .

Итак, мы рас­смот­ре­ли сте­пен­ную функ­цию с по­ло­жи­тель­ным ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем. 

 Часть вторая. 1. Основные понятия и определения

На­пом­ним свой­ства и гра­фи­ки сте­пен­ных функ­ций с целым от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем.

При чет­ных n, :

При­мер функ­ции: 

Все гра­фи­ки таких функ­ций про­хо­дят через две фик­си­ро­ван­ные точки: (1;1), (-1;1). Осо­бен­ность функ­ций дан­но­го вида – их чет­ность, гра­фи­ки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но оси ОУ.

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

При нечет­ных n, :

При­мер функ­ции: 

Все гра­фи­ки таких функ­ций про­хо­дят через две фик­си­ро­ван­ные точки: (1;1), (-1;-1). Осо­бен­ность функ­ций дан­но­го вида – их нечет­ность, гра­фи­ки сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

 

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

 2. Функция с отрицательным рациональным показателем степени, графики, свойства

На­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние.

Сте­пе­нью неот­ри­ца­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным по­ло­жи­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число .

Сте­пе­нью по­ло­жи­тель­но­го числа а с ра­ци­о­наль­ным от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем  на­зы­ва­ет­ся число .

Для  вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство:

На­при­мер:  – вы­ра­же­ние не су­ще­ству­ет по опре­де­ле­нию сте­пе­ни с от­ри­ца­тель­ным ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем; су­ще­ству­ет, т. к. по­ка­за­тель сте­пе­ни целый,

Пе­рей­дем к рас­смот­ре­нию сте­пен­ных функ­ций с ра­ци­о­наль­ным от­ри­ца­тель­ным по­ка­за­те­лем.

На­при­мер:

Для по­стро­е­ния гра­фи­ка дан­ной функ­ции можно со­ста­вить таб­ли­цу. Мы по­сту­пим иначе: сна­ча­ла по­стро­им и изу­чим гра­фик зна­ме­на­те­ля – он нам из­ве­стен (ри­су­нок 3).

 

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

Гра­фик функ­ции зна­ме­на­те­ля про­хо­дит через фик­си­ро­ван­ную точку (1;1). При по­стро­е­нии гра­фи­ка ис­ход­ной функ­ции дан­ная точка оста­ет­ся, при  ко­рень также стре­мит­ся к нулю, функ­ция стре­мит­ся к бес­ко­неч­но­сти. И, на­о­бо­рот, при стрем­ле­нии х к бес­ко­неч­но­сти функ­ция стре­мит­ся к нулю (ри­су­нок 4).

Рис. 4. Гра­фик функ­ции 

 

Рас­смот­рим еще одну функ­цию из се­мей­ства изу­ча­е­мых функ­ций.

Важно, что  по опре­де­ле­нию

Рас­смот­рим гра­фик функ­ции, сто­я­щей в зна­ме­на­те­ле: , гра­фик дан­ной функ­ции нам из­ве­стен, она воз­рас­та­ет на своей об­ла­сти опре­де­ле­ния и про­хо­дит через точку (1;1) (ри­су­нок 5).

Рис. 5. Гра­фик функ­ции 

При по­стро­е­нии гра­фи­ка ис­ход­ной функ­ции точка (1;1) оста­ет­ся, при  ко­рень также стре­мит­ся к нулю, функ­ция стре­мит­ся к бес­ко­неч­но­сти. И, на­о­бо­рот, при стрем­ле­нии х к бес­ко­неч­но­сти функ­ция стре­мит­ся к нулю (ри­су­нок 6).

Рис. 6. Гра­фик функ­ции 

Рас­смот­рен­ные при­ме­ры по­мо­га­ют по­нять, каким об­ра­зом про­хо­дит гра­фик и ка­ко­вы свой­ства изу­ча­е­мой функ­ции – функ­ции с от­ри­ца­тель­ным ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем.

Гра­фи­ки функ­ций дан­но­го се­мей­ства про­хо­дят через точку (1;1), функ­ция убы­ва­ет на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния.

Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции: 

Функ­ция не огра­ни­че­на свер­ху, но огра­ни­че­на снизу. Функ­ция не имеет ни наи­боль­ше­го, ни наи­мень­ше­го зна­че­ния.

Функ­ция непре­рыв­на, при­ни­ма­ет все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния от нуля до плюс бес­ко­неч­но­сти.

Функ­ция вы­пук­ла вниз (ри­су­нок 15.7)

На кри­вой взяты точки А и В, через них про­ве­ден от­ре­зок, вся кри­вая на­хо­дит­ся ниже от­рез­ка, дан­ное усло­вие вы­пол­ня­ет­ся для про­из­воль­ных двух точек на кри­вой, сле­до­ва­тель­но функ­ция вы­пук­ла вниз. Рис. 7.

Рис. 7. Вы­пук­лость функ­ции

 3. Решение типовых задач

Важно по­нять, что функ­ции дан­но­го се­мей­ства огра­ни­че­ны снизу нулем, но наи­мень­ше­го зна­че­ния не имеют.

При­мер 1 – найти мак­си­мум и ми­ни­мум функ­ции на ин­тер­ва­ле [1;8):

вы­чис­лим зна­че­ния функ­ции в кон­цах за­дан­но­го про­ме­жут­ка:

Те­перь мы можем вы­пи­сать ответ на ос­но­ва­нии того, что функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет.

, ми­ни­маль­но­го зна­че­ния нет, так как пра­вая гра­ни­ца не вклю­че­на в ин­тер­вал.

При­мер 2 – по­стро­ить и про­честь гра­фик функ­ции:

Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ную функ­цию по опре­де­ле­нию ра­ци­о­наль­ной сте­пе­ни:

Не за­бу­дем ука­зать, что по опре­де­ле­нию 

Стро­им гра­фик функ­ции , для нас это стан­дарт­ная кри­вая, она про­хо­дит через точку (1;1), убы­ва­ет. После этого сдви­га­ем по­лу­чен­ный гра­фик на одну еди­ни­цу вверх, точка (1;1) пе­ре­хо­дит в точку (1;2) (ри­су­нок 8)

Чи­та­ем по­лу­чен­ный гра­фик: если ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля (не вклю­чая) до бес­ко­неч­но­сти, функ­ция убы­ва­ет от бес­ко­неч­но­сти до еди­ни­цы (не вклю­чая).

Рис. 8. По­стро­е­ние гра­фи­ка функ­ции 

При­мер 3 – по­стро­ить и про­честь гра­фик функ­ции:

Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ную функ­цию по опре­де­ле­нию сте­пе­ни с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем:

Нам из­ве­стен гра­фик функ­ции , по­стро­им его. По­лу­чен­ная кри­вая воз­рас­та­ет и про­хо­дит через точку (1;1), по­сколь­ку по­ка­за­тель сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы – кри­вая вы­пук­ла вниз. Сдви­нем по­стро­ен­ную кри­вую на две еди­ни­цы впра­во (по­лу­ча­ем гра­фик функ­ции ) и на одну еди­ни­цу вверх – по­лу­ча­ем ис­ко­мый гра­фик (ри­су­нок 9)

Про­чтем по­лу­чен­ный гра­фик:

При воз­рас­та­нии ар­гу­мен­та от двух до бес­ко­неч­но­сти функ­ция воз­рас­та­ет от еди­ни­цы до бес­ко­неч­но­сти.

При­мер 4 – по­стро­ить и про­честь гра­фик функ­ции:

В дан­ном слу­чае функ­ция за­да­на ку­соч­но.

На­пом­ним, что такое мо­дуль, рас­кро­ем его по опре­де­ле­нию:

Итак, стро­им гра­фик функ­ции . Имеем две ветки:  и . После этого стро­им стан­дарт­ную кри­вую  на ин­тер­ва­ле  (Ри­су­нок 10)

Про­чтем гра­фик по­стро­ен­ной функ­ции:

Если ар­гу­мент воз­рас­та­ет от минус бес­ко­неч­но­сти до нуля, функ­ция убы­ва­ет от бес­ко­неч­но­сти до нуля. Когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля до еди­ни­цы, функ­ция также воз­рас­та­ет от нуля до еди­ни­цы. На­ко­нец, когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от еди­ни­цы не вклю­чи­тель­но до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция убы­ва­ет от еди­ни­цы не вклю­чи­тель­но до нуля не вклю­чи­тель­но.

Рис. 9. По­стро­е­ние гра­фи­ка функ­ции 

Рис. 10. Гра­фик ку­соч­но за­дан­ной функ­ции

При­мер 5 – найти зна­че­ния па­ра­мет­ра, при ко­то­ром урав­не­ние а) имеет хотя бы одно ре­ше­ние; б) имеет толь­ко одно ре­ше­ние:

Гра­фик за­дан­ной функ­ции мы уже по­стро­и­ли в преды­ду­щем при­ме­ре. Те­перь рас­се­чем его се­мей­ством пря­мых  и най­дем ко­ли­че­ство точек пе­ре­се­че­ния для каж­до­го слу­чая.

Вы­пол­ним рас­се­че­ние (ри­су­нок 11).

Рис. 11. Рас­се­че­ние гра­фи­ка пря­мы­ми 

При  урав­не­ние имеет три ре­ше­ния; при  урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

Ответ: при  урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние, при  урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Итак, мы рас­смот­ре­ли сте­пен­ные функ­ции, их свой­ства и гра­фи­ки. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/stepennye-funktsii-ih-svoystva-i-grafiki-nachalnye-svedeniya

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/stepennye-funktsii-ih-svoystva-i-grafiki-stepennye-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem

http://www.youtube.com/watch?v=6XZA9p2iCzg

http://www.youtube.com/watch?v=V2Vk6DqELpk

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-stepennye-funktsii-svoistva-graphici.pptx

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

 

 

 

Файлы