11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

Комментарии преподавателя

 1. Повторение теоретических фактов

Клю­чом к ре­ше­нию всех типов задач, рас­смат­ри­ва­е­мых в дан­ной теме, яв­ля­ет­ся опре­де­ле­ние ариф­ме­ти­че­ско­го корня и его свой­ства.

Еще раз на­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние.

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а на­зы­ва­ет­ся такое неот­ри­ца­тель­ное число b, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в сте­пень n дает число а.

При­ве­дем ма­те­ма­ти­че­скую за­пись опре­де­ле­ния:

На­при­мер: , т. к. , т.к. ,

 2. Решение примеров на упрощение и вычисление

Рас­смот­рим более слож­ные при­ме­ры.

При­мер 1 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Обос­но­ва­ние:

Вспом­ним ос­нов­ные свой­ства ариф­ме­ти­че­ских кор­ней:

, при  (тео­ре­ма 1)

, при  (тео­ре­ма 2)

, при  (тео­ре­ма 3)

, при  (тео­ре­ма 4)

 при  (тео­ре­ма 5)

При­мер 2 – вы­чис­лить:

Чтобы вы­пол­нить вы­чис­ле­ние, нужно пре­об­ра­зо­вать чис­ли­тель, для этого во вто­рой скоб­ке пред­ста­вим со­став­ные числа в виде про­стых:

По­лу­ча­ем:

Раз­ло­жим скоб­ку на мно­жи­те­ли спо­со­бом груп­пи­ров­ки:

После пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем дробь:

Имеем право со­кра­тить:

Неслож­но за­ме­тить в по­лу­чен­ном вы­ра­же­нии фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов, свер­нем ее:

При­мер 3 – вы­чис­лить:

Сна­ча­ла вы­чис­лим внут­рен­ний ко­рень:

После пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­чи­ли вы­ра­же­ние:

При­мер 4 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Важно за­ме­тить в под­ко­рен­ном вы­ра­же­нии пол­ный квад­рат:

По­лу­ча­ем:

Ком­мен­та­рий: для вы­де­ле­ния пол­но­го квад­ра­та имеем право пред­ста­вить а как , т. к. в за­дан­ном вы­ра­же­нии при­сут­ству­ет , зна­чит, а при­ни­ма­ет неот­ри­ца­тель­ные зна­че­ния.

При­мер 5 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Вы­де­ля­ем пол­ный квад­рат:

По­лу­ча­ем:

Ком­мен­та­рий: число  от­ри­ца­тель­ное, имеем право рас­крыть мо­дуль.

 3. Уравнения с радикалами, типы, примеры решения

Важно уметь ре­шать урав­не­ния с ра­ди­ка­ла­ми, рас­смот­рим пер­вый тип таких урав­не­ний.

Чтобы не по­те­рять при ре­ше­нии корни и не при­об­ре­сти новых кор­ней, сле­ду­ет на­ло­жить неко­то­рые огра­ни­че­ния. В первую оче­редь ОДЗ: . Далее:

За­ме­тим, что при вы­пол­не­нии вто­ро­го усло­вия ОДЗ со­блю­да­ет­ся ав­то­ма­ти­че­ски, по­это­му его от­дель­но можно не ука­зы­вать.

Мы по­лу­чи­ли сме­шан­ную си­сте­му, в ней при­сут­ству­ют урав­не­ние и нера­вен­ство. От­ме­тим, что нера­вен­ство ре­шать не обя­за­тель­но, до­ста­точ­но ре­шить урав­не­ние и по­лу­чен­ные корни под­ста­вить в нера­вен­ство – вы­пол­нить про­вер­ку, т. к. очень часто нера­вен­ство очень слож­но или невоз­мож­но ре­шить.

Вто­рой тип урав­не­ний:

Ука­жем об­ласть опре­де­ле­ния. ОДЗ:

Чтобы ре­шить за­дан­ное урав­не­ние, нужно воз­ве­сти его в квад­рат, по­лу­чим:

Чтобы упро­стить на­хож­де­ние об­ла­сти опре­де­ле­ния, можно оста­вить толь­ко одно из двух нера­венств, т. к. два числа равны друг другу и если одно из них боль­ше нуля, то и вто­рое тоже. По­лу­ча­ем си­сте­мы для ре­ше­ния урав­не­ния:

или

Ана­ло­гич­но пер­во­му типу по­лу­че­на сме­шан­ная си­сте­ма, можем ре­шить урав­не­ние и вы­пол­нить про­вер­ку, не решая пол­но­стью нера­вен­ство.

Рас­смот­рим кон­крет­ные при­ме­ры урав­не­ний.

При­мер 6:

Дан­ное урав­не­ние эк­ви­ва­лент­но си­сте­ме:

Ре­ша­ем по­лу­чен­ную си­сте­му:

Ответ: 

Дан­ный при­мер можно ре­шать дру­гим спо­со­бом. Рас­смот­рим две функ­ции – вы­ра­же­ния сто­я­щие в пра­вой и левой части за­дан­но­го урав­не­ния:

Пер­вая функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет (т. к. под кор­нем стоит ли­ней­ная убы­ва­ю­щая функ­ция, ее уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент мень­ше нуля), вто­рая мо­но­тон­но воз­рас­та­ет.

Про­ил­лю­стри­ру­ем ска­зан­ное:

Рис. 1. Гра­фи­ки функ­ций  и 

По­сколь­ку одна из функ­ций мо­но­тон­но убы­ва­ет, а вто­рая мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, то урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, если ре­ше­ние во­об­ще су­ще­ству­ет. Таким об­ра­зом, если мы най­дем один ко­рень за­дан­но­го урав­не­ния, это будет обос­но­ван­ный ответ к за­да­че.

Ко­рень су­ще­ству­ет, по ри­сун­ку мы видим, что это , чтобы убе­дить­ся в этом, под­ста­вим най­ден­ный ко­рень в ис­ход­ное урав­не­ние. По­лу­ча­ем вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство.

При­мер 7:

Имеем эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

Ре­ша­ем по­лу­чен­ную си­сте­му:

Ответ: 

При­мер 8:

В дан­ном слу­чае удоб­но вы­пол­нить за­ме­ну пе­ре­мен­ных.

Обо­зна­чим , воз­ве­дем в квад­рат, по­лу­ча­ем:

По­лу­ча­ем урав­не­ние:

Не те­ря­ем при этом огра­ни­че­ние: 

Ре­ша­ем по­лу­чен­ное квад­рат­ное урав­не­ние любым спо­со­бом, на­хо­дим корни:

 или 

Лиш­ний ко­рень от­бра­сы­ва­ем, оста­ет­ся 

Таким об­ра­зом, 

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние задач и урав­не­ний, со­дер­жа­щих ра­ди­ка­лы. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/zadachi-i-uravneniya-s-radikalami

http://www.youtube.com/watch?v=LxXZhj5oO9k

http://www.youtube.com/watch?v=XKRdhU3UXsY

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/614-samostoyatelnaya-rabota-s-6-preobrazovanie-vyrazhenij-soderzhashchikh-radikaly-11-klass.html

 

Файлы