11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.

Комментарии преподавателя

Преобразование выражений, содержащих радикалы

 Часть 1. Повторение определений и свойств

На­пом­ним ос­нов­ные опре­де­ле­ния.

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а на­зы­ва­ет­ся такое неот­ри­ца­тель­ное число b, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в сте­пень n дает число а.

При­ве­дем ма­те­ма­ти­че­скую за­пись опре­де­ле­ния:

На­при­мер: , т. к. , т. к. 

Итак, в рас­смот­рен­ном слу­чае под кор­нем стоит стро­го неот­ри­ца­тель­ное число, но су­ще­ству­ет также ко­рень из от­ри­ца­тель­но­го числа – это ко­рень нечет­ной сте­пе­ни, он су­ще­ству­ет для любых чисел.

                                      

На­при­мер: , т.к. 

На­пом­ним свой­ства кор­ней n-й сте­пе­ни, ко­то­ры­ми мы будем поль­зо­вать­ся при всех пре­об­ра­зо­ва­ни­ях:

 при 

, при  (тео­ре­ма 1);

, при  (тео­ре­ма 2);

, при  (тео­ре­ма 3);

, при  (тео­ре­ма 4);

 при  (тео­ре­ма 5).

Все даль­ней­шие пре­об­ра­зо­ва­ния и вы­чис­ле­ния ба­зи­ру­ют­ся на опре­де­ле­нии и свой­ствах корня n-й сте­пе­ни.

При­мер 1 – вы­чис­лить:

Раз­ло­жим под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние на более удоб­ные мно­жи­те­ли и после этого из­вле­чем ко­рень:

При­мер 2 – упро­стить вы­ра­же­ние:

При­мер 3 – упро­стить вы­ра­же­ние:

 2. Типовые ошибки и важные соотношения

Чтобы из­бе­жать рас­про­стра­нен­ных ти­по­вых оши­бок, об­ра­тим вни­ма­ние на неко­то­рые мо­мен­ты.

Верно ли, что:

 при 

Невер­но, т. к., на­при­мер, при  по­лу­ча­ем невер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство .

 при 

Невер­но, т. к., на­при­мер, при  по­лу­ча­ем невер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство .

В дан­ном слу­чае верна фор­му­ла:

:

При­ве­ден­ная фор­му­ла спра­вед­ли­ва для лю­бо­го чет­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни.

Для нечет­но­го по­ка­за­те­ля сте­пе­ни имеем сле­ду­ю­щую фор­му­лу:

При­ве­дем еще одну важ­ную фор­му­лу:

 3. Вынесение множителя из под знака корня, примеры

Пе­рей­дем к рас­смот­ре­нию ти­по­вых задач. Пер­вый тип задач – вы­не­се­ние мно­жи­те­ля из-под знака корня.

При­мер 4:

При­мер 5:

При­мер 6:

При­мер 7:

Ком­мен­та­рий: по­сколь­ку а стоит под квад­рат­ным кор­нем в нечет­ной сте­пе­ни, то дан­ная пе­ре­мен­ная неот­ри­ца­тель­на, имеем право снять с нее мо­дуль.

При­мер 8:

При­мер 9:

 4. Внесение множителя под знак корня, примеры

Сле­ду­ю­щий тип задач – вне­се­ние мно­жи­те­ля под знак корня.

При­мер 10:

При­мер 11:

При­мер 12:

При­мер 13:

При­мер 14:

 5. Решение элементарных уравнений

Пе­рей­дем к ре­ше­нию урав­не­ний.

При­мер 15:

Мы знаем, что:

Со­глас­но усло­вию 

Имеем:

, от­сю­да 

Ответ: 

При­мер 16:

Мы знаем, что:

Со­глас­но усло­вию 

Имеем:

, от­сю­да 

Ответ: 

При­мер 17:

Оче­вид­но, что в дан­ном слу­чае t может при­ни­мать любые зна­че­ния.

Ответ: 

При­мер 18:

Ответ: 

Итак, мы рас­смот­ре­ли эле­мен­тар­ные пре­об­ра­зо­ва­ния вы­ра­же­ний, со­дер­жа­щих ра­ди­ка­лы. 

 Часть вторая.  1. Повторение теоретических фактов

По­вто­рим неко­то­рые тео­ре­ти­че­ские по­ло­же­ния.

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а на­зы­ва­ет­ся такое неот­ри­ца­тель­ное число b, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в сте­пень n дает число а.

При­ве­дем ма­те­ма­ти­че­скую за­пись опре­де­ле­ния:

На­при­мер: , т. к. , т. к. ,

На­пом­ним, что ариф­ме­ти­че­ским кор­нем на­зы­ва­ет­ся неот­ри­ца­тель­ный ко­рень. В нашем слу­чае  – от­ри­ца­тель­ное число, но  – по­ло­жи­тель­ное, таким об­ра­зом,  – это ариф­ме­ти­че­ский ко­рень.

Вспом­ним ос­нов­ные свой­ства ариф­ме­ти­че­ских кор­ней:

 при 

, при  (тео­ре­ма 1);

, при  (тео­ре­ма 2);

, при  (тео­ре­ма 3);

, при  (тео­ре­ма 4);

 при  (тео­ре­ма 5);

 2. Упрощение выражений, примеры

При ре­ше­нии задач мы поль­зу­ем­ся опре­де­ле­ни­ем и свой­ства­ми корня n-й сте­пе­ни.

При­мер 1 – упро­стить и вы­пол­нить дей­ствия:

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­чи­ли вы­ра­же­ние:

Мы видим ос­нов­ной прин­цип ре­ше­ния по­доб­ных задач: если под кор­нем стоит со­став­ное число, нужно раз­ло­жить его на про­стые мно­жи­те­ли, и тогда, воз­мож­но, будет легко за­ме­тить ре­ше­ние за­да­чи.

При­мер 2:

Раз­ло­жим со­став­ное число 486 на про­стые мно­жи­те­ли:

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем:

При­мер 3 – вы­пол­нить умно­же­ние:

Оче­вид­но, что для ре­ше­ния дан­но­го за­да­ния необ­хо­ди­мо при­ме­нить фор­му­лу со­кра­щен­но­го умно­же­ния, а имен­но:  – фор­му­ла раз­но­сти квад­ра­тов.

В нашем слу­чае , по­лу­ча­ем:

При­мер 4 – вы­пол­нить умно­же­ние:

В дан­ном слу­чае нужно за­ме­тить дру­гую фор­му­лу со­кра­щен­но­го умно­же­ния:  – сумма кубов;

В нашем слу­чае , по­лу­ча­ем:

Ком­мен­та­рий: по­сколь­ку в за­дан­ном при­ме­ре пе­ре­мен­ные х и у сто­я­ли под квад­рат­ным кор­нем, то они неот­ри­ца­тель­ны, зна­чит, имеем право снять мо­дуль.

 3. Сокращение дробей, примеры

Одной из ти­по­вых задач яв­ля­ет­ся за­да­ча на со­кра­ще­ние дро­бей.

При­мер 5 – со­кра­тить дробь:

От­ме­тим неко­то­рые огра­ни­че­ния. Для того чтобы су­ще­ство­ва­ли за­дан­ные корни, необ­хо­ди­мо вы­пол­не­ние усло­вий: . Для того чтобы су­ще­ство­ва­ла дробь: .

Пре­об­ра­зу­ем чис­ли­тель дроби:

Таким об­ра­зом, за­дан­ную дробь можно за­пи­сать в сле­ду­ю­щем виде:

По­сколь­ку мы за­ра­нее ого­во­ри­ли, что зна­ме­на­тель не равен нулю, т. е. , имеем право со­кра­тить дробь:

При­мер 6:

В дан­ном слу­чае также нужно вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой со­кра­щен­но­го умно­же­ния.

Таким об­ра­зом, за­дан­ную дробь можно за­пи­сать в сле­ду­ю­щем виде:

Чтобы иметь право со­кра­тить дробь, ого­во­рим, что зна­ме­на­тель ее не дол­жен быть равен нулю, для этого х и у не долж­ны од­но­вре­мен­но быть равны нулю, тогда по­лу­ча­ем ответ:

 4. Преобразование сложных корней к простому виду

При­мер 7 – пре­об­ра­зо­вать вы­ра­же­ние к виду :

Вне­сем двой­ку под ку­би­че­ский ко­рень:

Со­глас­но тео­ре­ме о взя­тии корня из корня, пе­ре­мно­жим по­ка­за­те­ли кор­ней:

Со­глас­но тео­ре­ме о корне из про­из­ве­де­ния, по­лу­чим:

При­мер 8:

По­сте­пен­но вно­сим мно­жи­те­ли под знак внут­рен­не­го корня и пе­ре­мно­жа­ем по­ка­за­те­ли кор­ней:

При­мер 9 – упро­стить вы­ра­же­ние:

Пред­ста­вим все со­став­ные числа в виде про­стых чисел:

В ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чи­ли вы­ра­же­ние:

 5. Решение более сложных примеров

При­мер 10 – вы­чис­лить:

В зна­ме­на­те­ле стоит вы­ра­же­ние, рас­пи­шем его по фор­му­ле квад­ра­та раз­но­сти:

После пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­ча­ем дробь:

Вы­не­сем в зна­ме­на­те­ле минус за знак дроби:

Итак, мы вспом­ни­ли ос­нов­ные тео­ре­ти­че­ские факты о кор­нях n-й сте­пе­ни и на­учи­лись ре­шать неко­то­рые ти­по­вые за­да­чи с ра­ди­ка­ла­ми. Мы ре­ши­ли много раз­лич­ных при­ме­ров, на сле­ду­ю­щем уроке мы про­дол­жим изу­че­ние дан­ной темы.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/preobrazovanie-vyrazheniy-soderzhaschih-radikaly

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/preobrazovanie-vyrazheniy-soderzhaschih-radikaly-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=qYle71azQMY

http://www.youtube.com/watch?v=5rntedrQ7NY

http://www.youtube.com/watch?v=ahJqWfjwZfg

http://www.youtube.com/watch?v=QPMpCWZBeHI

http://www.youtube.com/watch?v=V08y6OCFbWk

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-vyrazheniya-soderzhashie-integral.pptx

http://дай-списать.рф/forum/4---/3628--------11-.html

http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/610-samostoyatelnaya-rabota-s-5-preobrazovanie-vyrazhenij-soderzhashchikh-radikaly-11-klass.html

 

 

 

Файлы