11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Свойства и графики степенных функций.
Комментарии преподавателя
Преобразование выражений, содержащих радикалы
Часть 1. Повторение определений и свойств
Напомним основные определения.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например: 
, т. к. 
; 
, т. к. 
Итак, в рассмотренном случае под корнем стоит строго неотрицательное число, но существует также корень из отрицательного числа – это корень нечетной степени, он существует для любых чисел.
Например: 
, т.к. 
, 
Напомним свойства корней n-й степени, которыми мы будем пользоваться при всех преобразованиях:
при 
, при 
(теорема 1);
, при 
(теорема 2);
, при 
(теорема 3);
, при 
(теорема 4);
при 
(теорема 5).
Все дальнейшие преобразования и вычисления базируются на определении и свойствах корня n-й степени.
Пример 1 – вычислить:
Разложим подкоренное выражение на более удобные множители и после этого извлечем корень:
Пример 2 – упростить выражение:
Пример 3 – упростить выражение:
2. Типовые ошибки и важные соотношения
Чтобы избежать распространенных типовых ошибок, обратим внимание на некоторые моменты.
Верно ли, что:
при 
Неверно, т. к., например, при 
получаем неверное числовое равенство 
.
при
Неверно, т. к., например, при 
получаем неверное числовое равенство 
.
В данном случае верна формула:
:
Приведенная формула справедлива для любого четного показателя степени.
Для нечетного показателя степени имеем следующую формулу:
Приведем еще одну важную формулу:
3. Вынесение множителя из под знака корня, примеры
Перейдем к рассмотрению типовых задач. Первый тип задач – вынесение множителя из-под знака корня.
Пример 4:
Пример 5:
Пример 6:
Пример 7:
Комментарий: поскольку а стоит под квадратным корнем в нечетной степени, то данная переменная неотрицательна, имеем право снять с нее модуль.
Пример 8:
Пример 9:
4. Внесение множителя под знак корня, примеры
Следующий тип задач – внесение множителя под знак корня.
Пример 10:
Пример 11:
Пример 12:
Пример 13:
Пример 14:
5. Решение элементарных уравнений
Перейдем к решению уравнений.
Пример 15:
Мы знаем, что:
Согласно условию 
Имеем:
, отсюда 
Ответ: 
Пример 16:
Мы знаем, что:
Согласно условию 
Имеем:
, отсюда 
Ответ: 
Пример 17:
Очевидно, что в данном случае t может принимать любые значения.
Ответ: 
Пример 18:
Ответ: 
Итак, мы рассмотрели элементарные преобразования выражений, содержащих радикалы.
Часть вторая. 1. Повторение теоретических фактов
Повторим некоторые теоретические положения.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например: 
, т. к. 
; 
, т. к. 
,
Напомним, что арифметическим корнем называется неотрицательный корень. В нашем случае 
– отрицательное число, но 
– положительное, таким образом, – это арифметический корень.
Вспомним основные свойства арифметических корней:
при 
, при 
(теорема 1);
, при 
(теорема 2);
, при 
(теорема 3);
, при 
(теорема 4);
при 
(теорема 5);
2. Упрощение выражений, примеры
При решении задач мы пользуемся определением и свойствами корня n-й степени.
Пример 1 – упростить и выполнить действия:
В результате преобразования получили выражение:
Мы видим основной принцип решения подобных задач: если под корнем стоит составное число, нужно разложить его на простые множители, и тогда, возможно, будет легко заметить решение задачи.
Пример 2:
Разложим составное число 486 на простые множители:
В результате преобразований получаем:
Пример 3 – выполнить умножение:
Очевидно, что для решения данного задания необходимо применить формулу сокращенного умножения, а именно: 
– формула разности квадратов.
В нашем случае 
, 
, получаем:
Пример 4 – выполнить умножение:
В данном случае нужно заметить другую формулу сокращенного умножения: 
– сумма кубов;
В нашем случае 
, 
, получаем:
Комментарий: поскольку в заданном примере переменные х и у стояли под квадратным корнем, то они неотрицательны, значит, имеем право снять модуль.
3. Сокращение дробей, примеры
Одной из типовых задач является задача на сокращение дробей.
Пример 5 – сократить дробь:
Отметим некоторые ограничения. Для того чтобы существовали заданные корни, необходимо выполнение условий: 
. Для того чтобы существовала дробь: 
.
Преобразуем числитель дроби:
Таким образом, заданную дробь можно записать в следующем виде:
Поскольку мы заранее оговорили, что знаменатель не равен нулю, т. е. , имеем право сократить дробь:
Пример 6:
В данном случае также нужно воспользоваться формулой сокращенного умножения.
Таким образом, заданную дробь можно записать в следующем виде:
Чтобы иметь право сократить дробь, оговорим, что знаменатель ее не должен быть равен нулю, для этого х и у не должны одновременно быть равны нулю, тогда получаем ответ:
4. Преобразование сложных корней к простому виду
Пример 7 – преобразовать выражение к виду 
:
Внесем двойку под кубический корень:
Согласно теореме о взятии корня из корня, перемножим показатели корней:
Согласно теореме о корне из произведения, получим:
Пример 8:
Постепенно вносим множители под знак внутреннего корня и перемножаем показатели корней:
Пример 9 – упростить выражение:
Представим все составные числа в виде простых чисел:
В результате преобразований получили выражение:
5. Решение более сложных примеров
Пример 10 – вычислить:
В знаменателе стоит выражение, распишем его по формуле квадрата разности:
После преобразования получаем дробь:
Вынесем в знаменателе минус за знак дроби:
Итак, мы вспомнили основные теоретические факты о корнях n-й степени и научились решать некоторые типовые задачи с радикалами. Мы решили много различных примеров, на следующем уроке мы продолжим изучение данной темы.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/preobrazovanie-vyrazheniy-soderzhaschih-radikaly
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/preobrazovanie-vyrazheniy-soderzhaschih-radikaly-zadachi
http://www.youtube.com/watch?v=qYle71azQMY
http://www.youtube.com/watch?v=5rntedrQ7NY
http://www.youtube.com/watch?v=ahJqWfjwZfg
http://www.youtube.com/watch?v=QPMpCWZBeHI
http://www.youtube.com/watch?v=V08y6OCFbWk
http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-vyrazheniya-soderzhashie-integral.pptx
http://дай-списать.рф/forum/4---/3628--------11-.html
http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/610-samostoyatelnaya-rabota-s-5-preobrazovanie-vyrazhenij-soderzhashchikh-radikaly-11-klass.html