11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.
11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.
Комментарии преподавателя
1. Определение корня n-й степени, понятие арифметического корня
При доказательстве свойств корня n-й степени мы будем опираться на его определение.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например, 
, т. к. 
; 
, т. к. 
;
Обратим внимание, что под знаком корня может стоять отрицательное число, но только в том случае, если корень – нечетной степени. В этом случае следует вынести минус из-под знака корня, и мы получим корень из неотрицательного числа: 
.
Напомним геометрическую интерпретацию корня n-й степени и дадим пояснения к определению.
Рассмотрим функцию 
на множестве всех действительных значений. Рис. 1.
Рис. 1. График функции
Значение 
функция принимает при двух различных значениях аргумента: 
. Другими словами, уравнение 
имеет два решения, положительное и отрицательное, 
– неотрицательное значение – носит название арифметического корня.
Рассмотрим функцию на множестве 
. Рис. 2.
Рис. 2. График функции на множестве
Данная функция принимает значение при единственном значении аргумента 
. Система
имеет единственное решение .
2. Теорема о корне из произведения, доказательство, примеры
Корень n-й степени (n=2, 3, 4…) из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-й степени из этих чисел.
Дано:
Доказать: 
Доказательство:
Обозначим исходные выражения через х, у и z:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как все выражения неотрицательные и возводятся в натуральную степень, имеем право записать:
Теорема доказана.
Рассмотрим несколько примеров на применение доказанной теоремы.
Пример 1 – вычислить:
Теорема удобна тем, что не нужно выполнять трудоемкое умножение, а иногда, наоборот, раскладывать большие числа на множители.
Пример 2 – вычислить:
Теорема 1 допускает обобщение, например, для произведения трех сомножителей.
Обобщение:
Дано: 
, 
Доказать: 
Доказательство:
Согласно условию 
, если рассматривать ab как один множитель, а с как второй, можем применить к выражению теорему 1:
Теперь можем применить теорему 1 к корню из ab:
Обобщение доказано.
Пример 3 – вычислить:
Пример 4 – вычислить:
3. Теорема о корне из частного, доказательство двумя способами, примеры
Если 
, то справедливо равенство:
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Введем новые переменные:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как все выражения неотрицательные и возводятся в натуральную степень, имеем право записать:
Теорема доказана.
Теорему 2 можно доказать непосредственно через теорему 1:
Дано:
Доказать (используя теорему 1):
Доказательство:
Если вышеуказанное равенство верно, то, возведя его правую часть в степень n, мы должны получить подкоренное выражение:
Рассмотрим заданное выражение:
Теорема доказана.
Пример 5 – вычислить:
Пример 6 – вычислить:
4. Еще одно доказательство теоремы о корне из произведения
Докажем теорему 1 вторым способом:
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Для доказательства будем использовать только определение корня.
Рассмотрим заданное выражение . Согласно определению корня, если правую часть выражения возвести в n-ю степень, мы должны получить подкоренное выражение, т. е. 
Теорема доказана.
5. Определение корня n-й степени, арифметический корень (продолжение)
Напомним основное определение.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например, 
, т. к. 
; 
, т. к. 
Неотрицательный корень n-й степени из неотрицательного числа а называют арифметическим корнем.
– арифметический корень;
Напомним геометрический смысл корня n-й степени из неотрицательного числа. Рассмотрим функцию 
на множестве всех действительных значений (рисунок 1) и только для неотрицательных х (рисунок 2).
Рис. 1. График функции
Рис. 2. График функции на множестве 
С рассматриваемыми функциями, как и с любой другой функцией, связаны две задачи – прямая (по заданному значению х найти у) и обратная (по заданному значению у определить х).
В случае, когда функция рассматривается для всех значений х, уравнение вида 
имеет два корня: 
, т. е. функция приобретает любое свое значение при двух противоположных значениях аргумента.
В случае же, когда рассматриваются только неотрицательные значения х, уравнение вида имеет единственный корень: 
, т. е. функция приобретает любое свое значение при одном значении аргумента, которое называют арифметическим корнем. Свойства этого корня мы и будем изучать.
6. Теорема о возведении корня в степень, доказательство, примеры
Если а – неотрицательное число, k – любое натуральное число, n – натуральное число, большее единицы, то справедливо равенство:
Другими словами, чтобы возвести корень n-й степени в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Дано: 
Доказать:
Доказательство:
k штук
Преобразуем полученное выражение по теореме 1:
k штук k штук
Теорема доказана.
Докажем данную теорему, пользуясь определением корня.
Если заданное равенство 
справедливо и правая часть есть корень n-й степени из 
, то n-я степень выражения из правой части равна подкоренному выражению, т. е. . Проверим данное равенство:
Теорема доказана вторым способом.
Рассмотрим несложные примеры на применение теоремы 3.
Пример 1 – вычислить:
Пример 2:
7. Теорема о корне из корня n-й степени, доказательство, примеры
Если а – неотрицательное число, n и k – натуральные числа, большие единицы, то справедливо равенство:
Другими словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели степеней.
Дано: 
Доказать:
Доказательство:
Введем новые переменные:
В новых выражениях нужно доказать, что 
. Рассмотрим равенство 
. По определению корня, 
. Возведем обе части полученного выражения в степень k: 
Из выражения 
, по определению корня, 
Получаем:
Неотрицательные числа возводятся в равную натуральную степень, отсюда получаем равенство оснований степеней:
Теорема доказана.
Докажем данную теорему, основываясь только на определении корня n-й степени. Таким образом, если в выражении 
мы возведем левую часть в степень 
и получим подкоренное выражение, т. е. а, теорема будет доказана.
Разъясним теорему 4 на конкретных примерах.
Пример 3 – вычислить:
С другой стороны
Пример 4:
8. Обзор свойств корня n-й степени, примеры
Сделаем обзор свойств корня n-й степени из неотрицательного числа.
, при 
(теорема 1);
, при 
(теорема 2);
, при (теорема 3);
, при (теорема 4).
Из теоремы 4 есть важное следствие: 
Следует избегать типичных ошибок, обратим на них внимание:
, например 
.
Перейдем к решению примеров.
Пример 5 – вычислить:
Пример 6:
Пример 7:
Итак, на данном уроке мы вспомнили ранее изученные и рассмотрели новые свойства корня n-й степени из неотрицательного числа, научились возводить его в степень и извлекать корень.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/svoystva-kornya-n-oy-stepeni
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/svoystva-kornya-n-oy-stepeni-prodolzhenie
http://www.youtube.com/watch?v=ahJqWfjwZfg
http://www.youtube.com/watch?v=7HIVp5vBbYI
http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg
http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3