11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.

11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график.

Комментарии преподавателя

 1. Определение корня n-й степени, понятие арифметического корня

При до­ка­за­тель­стве свойств корня n-й сте­пе­ни мы будем опи­рать­ся на его опре­де­ле­ние.

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а на­зы­ва­ет­ся такое неот­ри­ца­тель­ное число b, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в сте­пень n дает число а.

При­ве­дем ма­те­ма­ти­че­скую за­пись опре­де­ле­ния:

На­при­мер, , т. к. , т. к. ;

Об­ра­тим вни­ма­ние, что под зна­ком корня может сто­ять от­ри­ца­тель­ное число, но толь­ко в том слу­чае, если ко­рень – нечет­ной сте­пе­ни. В этом слу­чае сле­ду­ет вы­не­сти минус из-под знака корня, и мы по­лу­чим ко­рень из неот­ри­ца­тель­но­го числа: .

На­пом­ним гео­мет­ри­че­скую ин­тер­пре­та­цию корня n-й сте­пе­ни и дадим по­яс­не­ния к опре­де­ле­нию.

Рас­смот­рим функ­цию  на мно­же­стве всех дей­стви­тель­ных зна­че­ний. Рис. 1.

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

Зна­че­ние  функ­ция при­ни­ма­ет при двух раз­лич­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та: . Дру­ги­ми сло­ва­ми, урав­не­ние  имеет два ре­ше­ния, по­ло­жи­тель­ное и от­ри­ца­тель­ное,  – неот­ри­ца­тель­ное зна­че­ние – носит на­зва­ние ариф­ме­ти­че­ско­го корня.

Рас­смот­рим функ­цию  на мно­же­стве . Рис. 2.

Рис. 2. Гра­фик функ­ции  на мно­же­стве 

Дан­ная функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ние  при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та . Си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

 2. Теорема о корне из произведения, доказательство, примеры

Ко­рень n-й сте­пе­ни (n=2, 3, 4…) из про­из­ве­де­ния двух неот­ри­ца­тель­ных чисел равен про­из­ве­де­нию кор­ней n-й сте­пе­ни из этих чисел.

Дано:

До­ка­зать

До­ка­за­тель­ство:

Обо­зна­чим ис­ход­ные вы­ра­же­ния через х, у и z:

Так как все вы­ра­же­ния неот­ри­ца­тель­ные и воз­во­дят­ся в на­ту­раль­ную сте­пень, имеем право за­пи­сать:

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на при­ме­не­ние до­ка­зан­ной тео­ре­мы.

При­мер 1 – вы­чис­лить:

Тео­ре­ма удоб­на тем, что не нужно вы­пол­нять тру­до­ем­кое умно­же­ние, а ино­гда, на­о­бо­рот, рас­кла­ды­вать боль­шие числа на мно­жи­те­ли.

При­мер 2 – вы­чис­лить:

Тео­ре­ма 1 до­пус­ка­ет обоб­ще­ние, на­при­мер, для про­из­ве­де­ния трех со­мно­жи­те­лей.

Обоб­ще­ние:

Дано

До­ка­зать

До­ка­за­тель­ство:

Со­глас­но усло­вию , если рас­смат­ри­вать ab как один мно­жи­тель, а с как вто­рой, можем при­ме­нить к вы­ра­же­нию тео­ре­му 1:

Те­перь можем при­ме­нить тео­ре­му 1 к корню из ab:

Обоб­ще­ние до­ка­за­но.

При­мер 3 – вы­чис­лить:

При­мер 4 – вы­чис­лить:

 3. Теорема о корне из частного, доказательство двумя способами, примеры

Если , то спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

Дано:

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Вве­дем новые пе­ре­мен­ные:

Так как все вы­ра­же­ния неот­ри­ца­тель­ные и воз­во­дят­ся в на­ту­раль­ную сте­пень, имеем право за­пи­сать:

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Тео­ре­му 2 можно до­ка­зать непо­сред­ствен­но через тео­ре­му 1:

Дано:

До­ка­зать (ис­поль­зуя тео­ре­му 1):

До­ка­за­тель­ство:

Если вы­ше­ука­зан­ное ра­вен­ство верно, то, воз­ве­дя его пра­вую часть в сте­пень n, мы долж­ны по­лу­чить под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние:

Рас­смот­рим за­дан­ное вы­ра­же­ние:

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

При­мер 5 – вы­чис­лить:

При­мер 6 – вы­чис­лить:

 4. Еще одно доказательство теоремы о корне из произведения

До­ка­жем тео­ре­му 1 вто­рым спо­со­бом:

Дано:

До­ка­зать

До­ка­за­тель­ство:

Для до­ка­за­тель­ства будем ис­поль­зо­вать толь­ко опре­де­ле­ние корня.

Рас­смот­рим за­дан­ное вы­ра­же­ние . Со­глас­но опре­де­ле­нию корня, если пра­вую часть вы­ра­же­ния воз­ве­сти в n-ю сте­пень, мы долж­ны по­лу­чить под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние, т. е. 

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

 5. Определение корня n-й степени, арифметический корень (продолжение)

На­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние.

Опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а на­зы­ва­ет­ся такое неот­ри­ца­тель­ное число b, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в сте­пень n дает число а.

При­ве­дем ма­те­ма­ти­че­скую за­пись опре­де­ле­ния:

На­при­мер, , т. к. , т. к. 

Неот­ри­ца­тель­ный ко­рень n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа а на­зы­ва­ют ариф­ме­ти­че­ским кор­нем.

 – ариф­ме­ти­че­ский ко­рень;

На­пом­ним гео­мет­ри­че­ский смысл корня n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа. Рас­смот­рим функ­цию  на мно­же­стве всех дей­стви­тель­ных зна­че­ний (ри­су­нок 1) и толь­ко для неот­ри­ца­тель­ных х (ри­су­нок 2).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

Рис. 2. Гра­фик функ­ции  на мно­же­стве 

С рас­смат­ри­ва­е­мы­ми функ­ци­я­ми, как и с любой дру­гой функ­ци­ей, свя­за­ны две за­да­чи – пря­мая (по за­дан­но­му зна­че­нию х найти у) и об­рат­ная (по за­дан­но­му зна­че­нию у опре­де­лить х).

В слу­чае, когда функ­ция рас­смат­ри­ва­ет­ся для всех зна­че­ний х, урав­не­ние вида  имеет два корня: , т. е. функ­ция при­об­ре­та­ет любое свое зна­че­ние при двух про­ти­во­по­лож­ных зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та.

В слу­чае же, когда рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко неот­ри­ца­тель­ные зна­че­ния х, урав­не­ние вида  имеет един­ствен­ный ко­рень: , т. е. функ­ция при­об­ре­та­ет любое свое зна­че­ние при одном зна­че­нии ар­гу­мен­та, ко­то­рое на­зы­ва­ют ариф­ме­ти­че­ским кор­нем. Свой­ства этого корня мы и будем изу­чать.

 6. Теорема о возведении корня в степень, доказательство, примеры

Если а – неот­ри­ца­тель­ное число, k – любое на­ту­раль­ное число, n – на­ту­раль­ное число, боль­шее еди­ни­цы, то спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

Дру­ги­ми сло­ва­ми, чтобы воз­ве­сти ко­рень n-й сте­пе­ни в на­ту­раль­ную сте­пень, до­ста­точ­но воз­ве­сти в эту сте­пень под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние.

Дано

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

               k штук

Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние по тео­ре­ме 1:

  

 

          k штук                        k штук

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

До­ка­жем дан­ную тео­ре­му, поль­зу­ясь опре­де­ле­ни­ем корня.

Если за­дан­ное ра­вен­ство  спра­вед­ли­во и пра­вая часть есть ко­рень n-й сте­пе­ни из , то n-я сте­пень вы­ра­же­ния из пра­вой части равна под­ко­рен­но­му вы­ра­же­нию, т. е. . Про­ве­рим дан­ное ра­вен­ство:

Тео­ре­ма до­ка­за­на вто­рым спо­со­бом.

Рас­смот­рим неслож­ные при­ме­ры на при­ме­не­ние тео­ре­мы 3.

При­мер 1 – вы­чис­лить:

При­мер 2:

 7. Теорема о корне из корня n-й степени, доказательство, примеры

Если а – неот­ри­ца­тель­ное число, n и k – на­ту­раль­ные числа, боль­шие еди­ни­цы, то спра­вед­ли­во ра­вен­ство:

Дру­ги­ми сло­ва­ми, чтобы из­влечь ко­рень из корня, до­ста­точ­но пе­ре­мно­жить по­ка­за­те­ли сте­пе­ней.

Дано

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Вве­дем новые пе­ре­мен­ные:

В новых вы­ра­же­ни­ях нужно до­ка­зать, что . Рас­смот­рим ра­вен­ство . По опре­де­ле­нию корня, . Воз­ве­дем обе части по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния в сте­пень k: 

Из вы­ра­же­ния , по опре­де­ле­нию корня, 

По­лу­ча­ем:

Неот­ри­ца­тель­ные числа воз­во­дят­ся в рав­ную на­ту­раль­ную сте­пень, от­сю­да по­лу­ча­ем ра­вен­ство ос­но­ва­ний сте­пе­ней:

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

До­ка­жем дан­ную тео­ре­му, ос­но­вы­ва­ясь толь­ко на опре­де­ле­нии корня n-й сте­пе­ни. Таким об­ра­зом, если в вы­ра­же­нии  мы воз­ве­дем левую часть в сте­пень  и по­лу­чим под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние, т. е. а, тео­ре­ма будет до­ка­за­на.

Разъ­яс­ним тео­ре­му 4 на кон­крет­ных при­ме­рах.

При­мер 3 – вы­чис­лить:

С дру­гой сто­ро­ны

При­мер 4:

 8. Обзор свойств корня n-й степени, примеры

Сде­ла­ем обзор свойств корня n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа.

, при  (тео­ре­ма 1);

, при  (тео­ре­ма 2);

, при  (тео­ре­ма 3);

, при  (тео­ре­ма 4).

Из тео­ре­мы 4 есть важ­ное след­ствие: 

Сле­ду­ет из­бе­гать ти­пич­ных оши­бок, об­ра­тим на них вни­ма­ние:

, на­при­мер .

Пе­рей­дем к ре­ше­нию при­ме­ров.

При­мер 5 – вы­чис­лить:

При­мер 6:

При­мер 7:

Итак, на дан­ном уроке мы вспом­ни­ли ранее изу­чен­ные и рас­смот­ре­ли новые свой­ства корня n-й сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа, на­учи­лись воз­во­дить его в сте­пень и из­вле­кать ко­рень.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/svoystva-kornya-n-oy-stepeni

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/svoystva-kornya-n-oy-stepeni-prodolzhenie

http://www.youtube.com/watch?v=ahJqWfjwZfg

http://www.youtube.com/watch?v=7HIVp5vBbYI

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

 http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

 

 

Файлы