10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Преобразования сумм и произведений тригонометрических функций.

Комментарии преподавателя

Пре­об­ра­зо­ва­ние вы­ра­же­ния a sin x+b cos x к виду c sin (x+t)

 1. Введение. Решение задачи на данную тему

На уроке рас­смат­ри­ва­ет­ся пре­об­ра­зо­ва­ние ли­ней­ной ком­би­на­ции си­ну­са и ко­си­ну­са од­но­го ар­гу­мен­та, т.е. пре­об­ра­зо­ва­ние вы­ра­же­ния   к виду  На при­ме­ре кон­крет­ной за­да­чи из­ла­га­ет­ся общая ме­то­ди­ка пре­об­ра­зо­ва­ния.

1. За­да­ча:

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Обо­зна­чим левую часть через    Тогда

Ме­то­ди­ка:

                       Рис. 1.

1) В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с ка­те­та­ми  и  (см. рис.1).

2) Ги­по­те­ну­за  в нашем слу­чае 

3) Все вы­ра­же­ние умно­жить и раз­де­лить на зна­че­ние   

Оче­вид­но, ар­гу­мент  в нашей за­да­че , по­сколь­ку

Можно в ка­че­стве ар­гу­мен­та (угла)  взять дру­гой ост­рый угол в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке. Для преды­ду­щей за­да­чи это угол  .

2. До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Объ­еди­няя обе преды­ду­щие за­да­чи, по­лу­ча­ем еще одну за­да­чу.

3. До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Ис­поль­зуя чет­ность функ­ции ко­си­нус,  и фор­му­лу при­ве­де­ния , по­лу­ча­ем:

Итак:

 2. Преобразование выражения a sin x+b cos x к виду c sin (x+t)

Обоб­щая ре­зуль­та­ты преды­ду­щих задач, по­лу­ча­ем вы­клад­ки в общем виде.

4.   До­ка­зать:

При 

1) , где , ;

2) , где , .

До­ка­за­тель­ство:

1)

 где , ;

Ил­лю­стра­ция вы­бо­ра ар­гу­мен­та (угла) дана на рис.2.

                  Рис. 2.

По­сколь­ку

зна­чит точка  лежит на еди­нич­ной окруж­но­сти 

Т.к.  и  по­ло­жи­тель­ные ве­ли­чи­ны, то точка на­хо­дит­ся в пер­вой чет­вер­ти (см. рис.3). Тогда

                     Рис. 3.

2) , где , .

   

 3. Тригонометрические оценки

1. 

2.  ,т.к. .

3. ,т.к. .

 4. Итог урока

На уроке изу­чал­ся во­прос о пре­об­ра­зо­ва­нии ли­ней­ной ком­би­на­ции си­ну­са и ко­си­ну­са од­но­го ар­гу­мен­та, т.е. вы­ра­же­ние   к виду :

 где ,, 

или

, где ,

.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/preobrazovanie-vyrazheniya-a-8901-sin-x-b-8901-cos-x-k-vidu-c-8901-sin-x-t

http://www.youtube.com/watch?v=TlNlOTx2i7c

http://nsportal.ru/sites/default/files/2015/04/27/preobrazovanie_vyrazheniya_a_sin_xb_cos_x_prezentatsiya.pptx

http://library.naash.ru/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D0%B8%20%D1%86%D0%B8%D1%84%D1%80%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5%20%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%83%D1%80%D1%81%D1%8B%20%D0%9D%D0%90%D0%90%D0%A8/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/10%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81/%D0%A3%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B8/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%20%D1%87.%201-2/11/i.jpg

http://bigslide.ru/images/24/23084/960/img11.jpg

 

Файлы