10 класс. Алгебра. Тригонометрические уравнения. Арккосинус и арксинус.

10 класс. Алгебра. Тригонометрические уравнения. Арккосинус и арксинус.

Если |a|≤1, то корни уравнения cosx=a выражаются формулой ...

Комментарии преподавателя

Арк­ко­си­нус и ре­ше­ние урав­не­ния cost=a

 1. Тема урока, введение

Мы знаем, что такое арк­ко­си­нус, и те­перь с его по­мо­щью смо­жем ре­шить урав­не­ние  при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях , т.е. при .

 2. Пример уравнения вида cost=a

При­мер 1. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние.

 зна­чит, урав­не­ние имеет ре­ше­ние. Мы по­лу­чим бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний, т.к. функ­ция пе­ри­о­дич­на.

За­да­на абс­цис­са точки еди­нич­ной окруж­но­сти. Через эту точку про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр к линии ко­си­ну­сов и по­лу­чим две точки пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью (рис. 1).

Точке  со­от­вет­ству­ет мно­же­ство дей­стви­тель­ных чисел 

Точке  со­от­вет­ству­ет мно­же­ство 

Про­ил­лю­стри­ру­ем на гра­фи­ке:

На про­ме­жут­ке  функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет, и    до­сти­га­ет­ся толь­ко при одном зна­че­нии ар­гу­мен­та  Функ­ция  чёт­ная, её гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси  зна­чит, вто­рая точка имеет абс­цис­су  С уче­том пе­ри­о­да  

Ответ: 

 3. Решение уравнения cost=a в общем виде

 

Решим урав­не­ние  в общем виде, при 

Ре­ше­ние:

Абс­цис­су  имеют две точки окруж­но­сти –  (рис. 3).

Они и толь­ко они про­ек­ти­ру­ют­ся на линию ко­си­ну­сов в точку с ко­ор­ди­на­той  Каж­дой точке со­от­вет­ству­ет опре­де­лен­ное мно­же­ство дей­стви­тель­ных чисел.

Ответ: 

 4. Частные случаи уравнения cost=a

Рас­смот­рим част­ные слу­чаи три­го­но­мет­ри­че­ских урав­не­ний вида 

1. 

Решим с по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти и про­ил­лю­стри­ру­ем на гра­фи­ке:

А как по­лу­чить ре­ше­ние с по­мо­щью общей фор­му­лы?

2. 

3. 

 5. Решение уравнений

При­мер 2. Ре­шить урав­не­ние и про­ил­лю­стри­ро­вать ре­ше­ние на чис­ло­вой окруж­но­сти и на гра­фи­ке:

a) 

b) 

Ре­ше­ние:

a) 

От­ме­тим точку  на оси . Про­ве­дём пер­пен­ди­ку­ляр, по­лу­чим две точки пе­ре­се­че­ния с чис­ло­вой окруж­но­стью:  (рис. 7).

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние на гра­фи­ке.

На про­ме­жут­ке  функ­ция  мо­но­тон­но убы­ва­ет, зна­чит, на дан­ном про­ме­жут­ке есть толь­ко одно ре­ше­ние  

 Ко­си­нус чёт­ная функ­ция, гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси , зна­чит, точка  тоже яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем.

Ответ: 

b) 

Абс­цис­су  имеют две точки –  Им со­от­вет­ству­ет мно­же­ство дей­стви­тель­ных чисел  

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние на гра­фи­ке.

На от­рез­ке  функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет и при­ни­ма­ет зна­че­ние  толь­ко  в одной точке 

Ко­си­нус – чёт­ная функ­ция, гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси , зна­чит, точка  также яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния.

Ответ: 

Рас­смот­рим более слож­ное три­го­но­мет­ри­че­ское урав­не­ние.

При­мер 3. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

Осу­ще­ствим за­ме­ну пе­ре­мен­ной, обо­зна­чим 

Те­перь вер­нем­ся к ста­рой пе­ре­мен­ной:

Ответ: 

 6. Вывод, заключение

Мы на­учи­лись ре­шать урав­не­ния вида  при любом до­пу­сти­мом  Мы ис­поль­зо­ва­ли по­ня­тие арк­ко­си­ну­са. На сле­ду­ю­щем уроке мы по­зна­ко­мим­ся с по­ня­ти­ем арк­си­ну­са.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arkkosinus-i-reshenie-uravneniya-cos-t-a

http://www.youtube.com/watch?v=4A_4BjsglRo

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik

http://uslide.ru/images/20/26205/736/img11.jpg

http://mypresentation.ru/documents/c999f5a1a34bf46e02d0b3bbdcf9e1d7/img11.jpg

 

Файлы