10 класс. Алгебра. Тригонометрические уравнения. Арккосинус и арксинус.
10 класс. Алгебра. Тригонометрические уравнения. Арккосинус и арксинус.
Комментарии преподавателя
Арккосинус и решение уравнения cost=a
1. Тема урока, введение
Мы знаем, что такое арккосинус, и теперь с его помощью сможем решить уравнение 
при всех допустимых значениях 
, т.е. при 
.
2. Пример уравнения вида cost=a
Пример 1. Решить уравнение 
Решение.
значит, уравнение имеет решение. Мы получим бесчисленное множество решений, т.к. функция периодична.
Задана абсцисса точки единичной окружности. Через эту точку проведем перпендикуляр к линии косинусов и получим две точки пересечения с окружностью 
(рис. 1).
Точке 
соответствует множество действительных чисел 
Точке 
соответствует множество 
Проиллюстрируем на графике:
На промежутке 
функция монотонно убывает, и 
достигается только при одном значении аргумента 
Функция 
чётная, её график симметричен относительно оси 
значит, вторая точка имеет абсциссу 
С учетом периода 
Ответ: 
3. Решение уравнения cost=a в общем виде
Решим уравнение 
в общем виде, при 
Решение:
Абсциссу имеют две точки окружности – 
(рис. 3).
Они и только они проектируются на линию косинусов в точку с координатой 
Каждой точке соответствует определенное множество действительных чисел.
Ответ: 
4. Частные случаи уравнения cost=a
Рассмотрим частные случаи тригонометрических уравнений вида 
1. 
Решим с помощью числовой окружности и проиллюстрируем на графике:
А как получить решение с помощью общей формулы?
2. 
3. 
5. Решение уравнений
Пример 2. Решить уравнение и проиллюстрировать решение на числовой окружности и на графике:
a) 
b) 
Решение:
a) 
Отметим точку 
на оси 
. Проведём перпендикуляр, получим две точки пересечения с числовой окружностью: 
(рис. 7).
Проиллюстрируем решение на графике.
На промежутке функция монотонно убывает, значит, на данном промежутке есть только одно решение 
Косинус чётная функция, график симметричен относительно оси 
, значит, точка 
тоже является решением.
Ответ: 
b) 
Абсциссу 
имеют две точки – Им соответствует множество действительных чисел 
Проиллюстрируем решение на графике.
На отрезке функция монотонно убывает и принимает значение только в одной точке 
Косинус – чётная функция, график симметричен относительно оси 
, значит, точка также является решением уравнения.
Ответ: 
Рассмотрим более сложное тригонометрическое уравнение.
Пример 3. Решить уравнение 
Решение:
Осуществим замену переменной, обозначим 
Теперь вернемся к старой переменной:
Ответ: 
6. Вывод, заключение
Мы научились решать уравнения вида при любом допустимом Мы использовали понятие арккосинуса. На следующем уроке мы познакомимся с понятием арксинуса.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arkkosinus-i-reshenie-uravneniya-cos-t-a
http://www.youtube.com/watch?v=4A_4BjsglRo
http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf
http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik
http://uslide.ru/images/20/26205/736/img11.jpg
http://mypresentation.ru/documents/c999f5a1a34bf46e02d0b3bbdcf9e1d7/img11.jpg